4.2. Энергетика газовых вихрей

4.2. Энергетика газовых вихрей

Как видно из предыдущего параграфа, тело газового вихря сжимается окружающей средой в процессе формирования вихря. Подтверждением этому служит тот факт, что тело смерча является более тонким, нежели его основание, где трение не позволяет развить большую скорость вращения. Другим подтверждением сжатия тела вихря атмосферой служит тот факт, что в воздухозаборниках турбореактивных двигателей всегда образуется лишь один вихрь, площадь которого в сотни раз меньше площади воздухозаборника. Таким образом, можно полагать, что самопроизвольное уменьшение площади вихря в результате его формирования реально имеет место. Уменьшение площади вихря, естественно, есть результат уменьшения его радиуса. Таким образом, формирование вихря сопровождается уменьшением его радиуса с одновременным уплотнением тела вихря.

Рис. 4.9. Движение тела по траектории с переменным радиусом:
без подвода энергии (а), с подводом энергии (б) и к расчету центростремительного ускорения (в):

Существуют два вида вращательного движения тела с переменным радиусом, к сожалению, в курсах механики рассмотренных недостаточно подробно.

Первый вид движения - самопроизвольное без подвода энергии движения тела вокруг цилиндра (рис. 4.9, а), на который наматывается нить, удерживающая тело, причем тело движется по инерции.

В данном случае тело, двигаясь вокруг цилиндра, поворачивается вокруг мгновенного центра вращения, находящегося на образующей цилиндра (точка О на рисунке). Мгновенный центр вращения перемещается вслед за телом. Сила натяжения нити направлена строго перпендикулярно траектории тела, ее проекция на траекторию равна нулю.

Несмотря на то что мгновенный центр вращения перемещается по цилиндру и радиус меняется (уменьшается), тангенциальное ускорение отсутствует, тело движется в данном случае с постоянной линейной скоростью, следовательно, хотя r = var, но

как и должно быть при отсутствии потерь и подвода энергии.

Второй вид движения тела с переменным радиусом — движение тела вокруг неподвижного центра при изменении радиуса за счет поступления энергии извне (рис. 4.9, б).

При принудительном перемещении тела силой F > F_ц к центру масс, так что тело движется к центру с ускорением Дц, общее движение тела происходит по кривой, мгновенным центром вращения для которой является точка О , вынесенная в сторону от точки О, к которой прикреплена нить и к которой направлена сила Рц, при этом проекция силы Рц на направление движения не равна нулю, и тело приобретает ускорение вдоль траектории.

Для обычного вращательного движения (рис. 4.9, в) из подобия треугольника АА'0 и abc следует

или

а из подобия треугольников ABC и AEF (рис. 4.9, б) вытекает, что

или

откуда

т. е. ускорение массы имеет природу ускорения Кориолиса. Умножая оба члена выражения на радиус г, имеем

интегрируя по времени, получаем

Поскольку в скобках стоит полный дифференциал, имеем

Для постоянной массы

откуда следует, что при r₂ < r₁

Таким образом, закон постоянства момента количества движения справедлив, если в систему подводится энергия, направленная на уменьшение радиуса вращения тела. Рассмотренный случай принципиально отличается от предыдущего тем, что энергия вращения тела возрастает за счет подведения к телу энергии. При этом все остальные характеристики ускоряющегося тела, например, температура и другие, не меняются.

Энергия тангенциального движения, приобретенная массой за единицу времени, равна:

Энергия, вложенная в радиальное перемещение тела за ту же единицу времени, составляет

и, следовательно,

что подтверждает тот факт, что приобретенная энергия имеет исключительно внешнее происхождение. Сила, ускоряющая массу, равна:

и пропорциональна угловой скорости и скорости изменения радиуса. Сила, которую нужно приложить к массе в радиальном направлении, составляет

Таким образом, — полная сила, а энергия, направленная на преодоление этой силы при перемещении тела со скоростью , и есть

Риc. 4.10. Убывание относительной скорости движения сжимаемой среды вокруг вихря

Риc. 4.11. Сжатия газового вихря на входе воздухозаборника турбины

вся энергия, которую нужно вложить в систему для обеспечения сокращения радиуса и приобретения массой дополнительной энергии вращения.

Рассмотренный механизм накопления энергии вращающимся телом позволяет понять происхождение энергии газовых вихрей, являющихся, как известно, весьма энергоемкими образованиями.

Приведенный выше вывод справедлив для случая вращения не только твердого тела, но и несжимаемой жидкости, когда энергия радиального движения тратится только на изменение радиуса вращения и соответственно на изменение энергии тангенциального движения. В случае же сжимаемого газа энергия радиального движения тратится еще и на изменение внутренней энергии газа при уменьшении радиуса вращения на его сжатие. При увеличении радиуса вращения внутренняя энергия добавляется к энергии тангенциального движения.

При сжатии вихря

Следовательно, энергия тангенциального движения при сжатии окажется уменьшенной на величину энергии сжатия:

Соответственно, если без сжатия имеем

то при сжатии получим

где kp — относительное сжатие объема газа. В этом случае гиперболический закон убывания тангенциальной скорости выполняться не будет (рис. 4.10).

В отличие от жидких вихрей, центр которых, возможно, вращается по закону твердого тела [19], газовый вихрь имеет трубчатую структуру, внутри которой давление газа понижено за счет разброса частиц из центра центробежной силой, и которая снаружи ограничена пограничным слоем с пониженными температурой и вязкостью.

Элемент газа, находящийся на внешней стороне трубы, стремится под действием внутреннего давления и центробежной силы оторваться, этому препятствует внешнее давление. Если внутренние силы превышают внешние, элемент газа отрывается от трубы, так как для газа никаких препятствий к тому нет. Сумма внутренних сил оставшегося в стенках газа меньше внешних или равна им — последнее состояние является неустойчивым. Сжатие тела вихря внешними силами — давлением окружающей среды — вызывает увеличение скорости вращения, причем внутреннее давление при этом падает, так что равновесие остается неустойчивым и вихрь продолжает сжиматься.

На рис. 4.11 хорошо видно, что диаметр установившегося вихря существенно, в десятки раз по диаметру, меньше размера воздухозаборника турбины, образовавшей вихрь, и что вихрь имеет трубчатую структуру.

Из изложенного следует, что газовый вихрь концентрирует в себе энергию всей окружающей среды, и этим данный процесс кардинально отличается от всех остальных процессов, сопровождающихся рассеиванием энергии в окружающем пространстве.

Рассмотрим внутреннюю энергию вихря сжимаемого газа. Масса элементарной струйки газа в составе вихря равна: