Переход:
.....Назад.....Содержание.....ВпередПРИЛОЖЕНИЕ 3. ВЫВОД ФОРМУЛ ПЕРЕСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ИЗ ОДНОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА В ДРУГУЮ ПРИ НЕИНВАРИАНТНОЙ СКОРОСТИ СВЕТА
Будем обозначать декартовые координаты события и время события в одной инерциальной системе отсчета (ИСО) символами
x, y, z, t, а в другой ИСО символами x', y', z', t'. Пусть штрихованная ИСО движется в направлении возрастающих значений координаты х не штрихованной ИСО с постоянной скоростью u, оси х и x' обеих ИСО совпадают друг с другом, а другие оси параллельны друг другу.Тогда, если событие происходит с объектом, покоящимся в штрихованной ИСО, преобразования координат и времени события в новой теории пространства-времени имеют вид
(П3.1)
(П3.2)
где а если событие происходит с объектом, покоящимся в не штрихованной ИСО, преобразования его координат и времени в новой теории пространства-времени имеют вид
(П3.3)
(П3.4)
Пусть источник электромагнитного поля покоится в штрихованной ИСО. Тогда в этой ИСО в вакууме справедливы уравнения Максвелла-Лоренца
(П3.5)
(П3.6)
(П3.7)
(П3.8)
где - векторы напряженности магнитного и электрического полей, соответственно; - векторы индукции соответственно магнитного и электрического полей; - вектор плотности тока и плотность заряда соответственно, причем
(П3.9)
Найдем уравнения электромагнитного поля в не штрихованной ИСО. Для этого применим к уравнениям Максвелла-Лоренца (П3.5) - (П3.8) преобразования (П3.1) - (П3.2) (поскольку источник поля покоится в штрихованной ИСО).
В проекциях на координатные оси уравнения (П3.5) - (П3.8) имеют вид
(П3.10)
(П3.11)
(П3.12)
(П3.13)
(П3.14)
(П3.15)
(П31.16)
(П3.17)
Чтобы решить поставленную задачу, нам необходимо заменить частные производные по штрихованным координатам и времени частными производными по не штрихованным координатам и времени, используя известные выражения для частных производных от сложной функции
(П3.18)
(П3.19)
(П3.20)
определив входящие в выражения (П3.18) и (П3.19) частные производные из преобразований (П3.1) - (П3.2). Получим
(П3.21)
(П3.22)
С учетом формул (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.10) приобретает вид
(П3.23)
а уравнение (П3.13) - вид
(П3.24)
Исключаем из уравнения (П3.23) D'x' / x. Для этого из уравнения (П3.24) находим
и подставляем в уравнение (П3.23), получим
(П3.25)
Исключаем из уравнения (П3.24) ¶ D'x ' /¶ t.. Для этого из уравнения (П3.23) находим
и подставляем в уравнение (П3.24). Получим
(П3.26)
С учетом формул (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.11) приобретает вид
(П3.27)
а уравнение (П3.12) - вид
(П3.28)
С учетом уравнений (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.14) приобретает вид
(П3.29)
а уравнение (П3.17) - вид
(П3.30)
Исключаем из уравнения (П3.29) Bx/x. Для этого из (П3.30) находим
и подставляем в уравнение (П3.29). Получим
(П3.31)
Исключаем из уравнения (П3.30) B'x' /t. Для этого из (П3.29) находим
и подставляем в уравнение (П3.30). Получим
(П3.32)
С учетом формул (П3.20) - (П3.22) уравнение (П3.15) приобретает вид
(П3.33)
а уравнение (П3.16) - вид
(П3.34)
Итак, вместо формул (П3.10) - (П3.17) в штрихованной ИСО мы получили соответствующие формулы в не штрихованной ИСО
(П3.35)
(П3.36)
(П3.37)
(П3.38)
(П3.39)
(П3.40)
(П3.41)
(П3.42)
Введем в формулах (П3.35) - (П3.42) обозначения
сuDx = сoD'x' , сuDy=g (сoD'y' + b H'z), сuDz=g (сoD'z' - b H'y' );
Ex = E'x' , Ey = g (E'y' + b сo B'z' ) , Ez = g (E'z' - b сoB'y' );
сuBx = сoB'x' , сuBy=g (сoB'y' - b E'z' ), сuBz=g (сoB'z' + b E'y' );.(П3.43)
Hx = H'x' , Hy
= g (H'y' - b сoD'z' ),
Hz = g (H'z' +
b сoD'y' );
jx = g (j'x'
+ b сo r ' ), jy = j'y' ,
jz = j'z' ,
сur = g (сo r ' + b j'x'
),
где g = (1 - b 2)- 0.5; b = u/сu ; сu = сo (1 + u2/сo2)0,5 .
Тогда формулы (П3.35) - (П3.42) принимают вид
(П3.44)
(П3.45)
(П3.46)
(П3.47)
(П3.48)
(П3.49)
(П3.50)
(П3.51)
Формулы (П3.44) - (П3.51) можно записать в виде
.............
(П3.52)
.............
..............
Таким образом, уравнения Максвелла-Лоренца инвариантны относительно новых преобразований координат и времени.
Переход:
.....Назад.....Содержание.....Вперед