Возвращаясь к указанному сочетанию в c свойств актуальной бесконечности и актуального нуля, заметим, что оно наводит на предположение о возможной универсальности подобного сочетания противоположных характеристик инвариантных величин. Не исключено, что и другие физические величины, например, l_pl, t_pl, являющиеся актуальными нулями в соответствующих множествах, должны в определенном отношении проявлять свойства актуальной бесконечности. Доказать данное эвристичное предположение средствами классической математики и логики, по-видимому, невозможно, в частности, в силу неразработанности принципиальных подходов, позволяющих объединять в одном математическом объекте противоположные свойства. В то же время, не вызывает сомнений, что с методологической точки зрения данная гипотеза не выглядит безосновательной уже благодаря ее глубокому соответствию духу диалектики. По сути дела она расшифровывает физико-математический аспект онтологического содержания закона единства противоположностей применительно к данной ситуации. Подобное понимание единства противоположных характеристик включает не только наличие взаимосвязи, но и наличие взаимопереходов, взаимопроникновения, и отождествления противоположностей.

Заметим, что приведенное доказательство (от противного) переводит нашу гипотезу в разряд строгих результатов лишь при условии, что в заданном множестве физических величин наряду с актуальным нулем имеется и актуальная бесконечность. Само по себе это условие является предположением, распространенным пока не на все множества физических величин. В частности, в теориях наличествуют понятия максимальных импульса, скорости, но отсутствуют актуально бесконечные длина, интервал времени и др. Подтвердить правильность этого предположения на сегодня можно, по-видимому, лишь на уровне общих законов диалектики. Например, закон перехода количественных изменений в качественные не выполнялся бы в полной мере, если бы не существовало качественно выделенных конечных величин, ограничивающих снизу и сверху множество значений той или иной физической величины. На наш взгляд, идея о существовании актуальной бесконечности в актуальном нуле (и актуального нуля в актуальной бесконечности) заслуживает внимания, поскольку может явиться одним из фундаментальных методологических ориентиров (принципов) при разработке основ постнеклассической физики.

Один из аргументов в пользу единства понятий актуального нуля и бесконечности заключается в том, что возможность обоснованного введения в физические теории как первого, так и второго базируется на одной и той же системе фундаментальных физических и математических представлений. Из вышеизложенного явствует, что принятие постулата о существовании фундаментальной длины, т.е. актуального нуля множества всех длин обусловливает существование не только инвариантной (т.е. абсолютной) актуально бесконечной величины c, но и бесконечного множества трансфинитных (т.е. относительных актуально бесконечных) величин vⁱ _max. Верно и обратное. Предполагая ограниченность актуально бесконечного множества какой-либо физической величины, например, массы покоя элементарных частиц, получим, согласно релятивистской квантовой механике, вывод о существовании “квантов” времени и длины. Замечательным образом это генетическое единство понятий актуальных нуля и бесконечности проявляется в работах Кантора, причем, можно сказать, вопреки его собственной воле. Речь идет о следующей теореме¹: “Не существует отличных от нуля линейных числовых величин (то есть, короче говоря, таких числовых величин, которые можно представить в образе ограниченных непрерывных прямолинейных отрезков), которые были бы меньше сколь угодно малой конечной числовой величины, то есть такие величины противоречат понятию линейной числовой величины... Факт существования актуально бесконечных чисел не только не является основанием для существования актуально бесконечно малых величин, но, скорее, как раз с помощью первых доказывается невозможность последних.” В отношении этой теоремы редактор перевода² справедливо отмечает, что “несуществование “актуально бесконечно малых величин” нельзя доказать в такой же мере, в какой и несуществование канторовских трансфинитов, и в обоих случаях ошибка одна и та же - приписывание новым величинам некоторых свойств обычных “конечных” величин, которыми они не могут обладать. Речь здесь идет о так называемой “неархимедовой” числовой системе, соответственно о “неархимедовом” поле, существование которого сегодня можно считать безупречно доказанным. ... Вместе с “архимедовой аксиомой” одновременно падает и “аксиома непрерывности”... Тем, что Кантор предполагает справедливой аксиому непрерывности, он фактически исключает все неархимедовы числовые системы, но ничего не доказывает против существования таких “упорядоченных полей”, в которых не выполняется ни архимедова аксиома, ни аксиома непрерывности.”

Именно предположение о непрерывности заставляет Кантора обсуждать идею актуального бесконечно малого, сохраняя классическое понятие нуля и представляя актуальную бесконечно малую величину “в образе ограниченных непрерывных прямолинейных отрезков”. Неудивительно, что Кантору легко удается показать противоречивость подобной конструкции. Актуальной бесконечно малой числовой величине следует сопоставить образ актуального нуля множества. Данная величина, с одной стороны, выражается конечным числом, но в то же время является минимальным инвариантным элементом числового множества, т.е. обладает важнейшими свойствами нуля. Подобные величины в силу своей качественной специфики непредставимы в образе “непрерывного ограниченного отрезка”, поскольку для этого отрезка невозможно было бы указать ограничиваемое им множество, различить его границы и т.п. Множества с актуальным нулем не являются в строгом смысле слова ни непрерывными, ни дискретными. Обе эти противоположности проявляются лишь как различные идеализации: первая предполагает абстрагирование от присущих актуальному нулю свойств конечной величины, вторая - от его инвариантности и минимальности. Иначе говоря, прерывное и беспрерывное соединяются (в духе учения Платона) в определенном числе, которое несет в себе противоречие предела и беспредельного, конечного и бесконечного.

На необходимость подобного реформирования числового множества указывал П.К.Рашевский³: “...сколь угодно точные рациональные приближения вещественных чисел возможны именно потому, что мы пользуемся обычным натуральным рядом, элементы которого определены абсолютно точно, сколь далеко мы ни зашли бы. Но ... возрастающая размытость его элементов ... передается и дробям с большими знаменателями, и мы доходим до оптимальной возможной точности в оценке (реформированных) вещественных чисел, может быть, раньше, чем знаменатель успевает “устремиться к бесконечности”. Тем самым, очевидно, существуют и чисто математические основания для признания идеи единства актуального нуля и абсолютной актуальной бесконечности как противоположных моментов, фиксируемых сознанием на общей концептуальной базе. Эти понятия не просто дополнительны, но взаимосвязаны, они уже не существуют и даже не могут быть непротиворечиво помыслены одно без другого.

Отметим, что актуальный нуль в той же мере, что и актуальная бесконечность, связан с потенциальной бесконечностью (Ґ ), понимаемой в смысле неограниченности классического натурального числового ряда. Актуальные нуль и бесконечность служат ни чем иным, как объективными пределами реальных операций уменьшения и увеличения значения той или иной физической величины, производимых сколь угодно большое число раз. Без признания принципиальной возможности бесконечного (Ґ ) повторения того или иного реального действия не существовало бы оснований для определения актуальных бесконечно большой и бесконечно малой величины. И наоборот, отсутствие конечных минимального и максимального элементов множества лишает смысла, исключает само понятие бесконечного как не имеющее качественного отличия от конечного и сводящееся к понятию “переменное конечное”.

Можно сделать вывод, что “всякая потенциальная бесконечность, которую желают использовать строго математически, предполагает наличие актуальной бесконечности”⁴, и в то же время актуальная бесконечность включает в себя потенциальность в качестве своего момента. Этот вывод можно повторить, заменив актуальную бесконечность актуальным нулем, поскольку выше была показана взаимосвязь и однородность этих понятий.

Понятия актуального нуля и актуальной бесконечности важны не только в математике и физике, они оказывают влияние и на решение общефилософских мировоззренческих вопросов. С одной стороны, используя представления об актуально бесконечном, можно вслед за Кантором совершенно определенно признать познаваемость бесконечности. Ведь хотя мы и привыкли говорить о “конечности” нашего разума, на самом деле, несмотря на ограниченность человеческой природы, “к ней все-таки прилипло очень многое от бесконечного”⁵. С другой стороны, актуальная бесконечность реального мира в принципе позволяет познавать мир в общем, как “конечное” целое, сразу весь целиком, не проходя потенциально бесконечный путь изучения и обобщения деталей, элементов реальности. Подобно конечности мира в большом, конечность в малом также создает предпосылки для познания реальности сразу во всем “свернутом” многообразии ее свойств.

Изложенные в настоящем разделе основные идеи, относящиеся к новому пониманию содержания “физической” бесконечности, могут в известной степени способствовать преодолению противостояния традиционных концепций финитизма и инфинитизма, служить примером применения диалектической критики, предполагающей переход от антитез к синтезу. Тупиковость абсолютизации этих противоположных точек зрения, подтвержденная тысячелетней историей науки, очевидна с позиций диалектико-материалистической методологии. Однако общефилософское решение проблемы всегда нуждается в конкретизации. Приведенные выше результаты могут служить методологической основой для развития в физике подходов, учитывающих диалектическое единство и специфику конечного и бесконечно большого (а также конечного и бесконечно малого). Использование этих новых представлений в конкретных науках призвано обеспечить большее соответствие реальности разрабатываемых ими моделей. В известной мере должно претерпеть изменение и конкретно-научное содержание (воплощение) методологических принципов исследования, которые так или иначе опираются на представления о существовании бесконечности - принципа всеобщего взаимодействия, причинности, связи состояний и др. Тем самым введение в научный оборот новых онтологически обоснованных представлений о бесконечном открывает широкое поле деятельности и в области методологии и методики исследования физической реальности. Если взглянуть шире на складывающуюся ситуацию, то можно предвидеть новое проявление ставшей уже традиционной тенденции экстраполирования (заимствования) новых физических представлений о мире в область социальных, экономических и демографических процессов. Таким образом, можно не без оснований утверждать, то поле применения полученной конкретизации содержания понятия бесконечного не ограничивается рамками физики, но имеет общенаучное значение в качестве одной из составляющих научной картины мира.

В заключение подчеркнем, что обосновываемая теорией порядковых типов концепция актуально бесконечного не выходит за рамки классических континуалистских представлений (и, в частности, архимедовой арифметики). Как следствие, непосредственное применение выводов теории типов к традиционным физико-математическим моделям реальности оказывается проблематичным. Причем основная трудность связана с отсутствием признанных физических оснований для объективного качественного различения бесконечных подмножеств той или иной физической величины. Отмеченная Кантором принципиальная связь иррациональных чисел с пределами трансфинитных последовательностей рациональных чисел сама по себе этой проблемы не решает, но лишь дает намек на верный подход к пониманию онтологического содержания и места актуальной бесконечности. Включение в физическую картину мира представлений о дискретно-непрерывной структуре пространства-времени позволяет обнаружить и обосновать онтологическое содержание концепции трансфинитного во всем ее стройном объеме и со всеми логическими следствиями. Более того, данный подход не только позволяет найти поле и сформулировать условия приложения идей существующей математической теории к реальности, но и обладает конструктивным потенциалом, задавая определенные методологические ориентиры для перехода к обобщенной теории множеств, более полно отвечающей потребностям, связанным с описанием реального мира.

1 Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - С. 294-295.

2 Там же. - С. 324-325.

3 Рашевский П.К. О догмате натурального ряда // Успехи математических наук. - 1973. - Т. 28, № 4. - С. 243-246.

4 Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - С. 297.

5 Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987.

Сайт создан в системе uCoz