Характеризуя vⁱ _max как трансфинитную величину, мы используем термин, введенный Г.Кантором для обозначения порядковых чисел вполне упорядоченных актуально бесконечных множеств. В то же время vⁱ _max вовсе не относится к порядковым числам (типам) множества Vⁱ, а значение vⁱ _max в отличие от не является “целым числом, превышающим все конечные целые числа”. Мы в данной работе и не стремились к непосредственному буквальному приложению теории порядковых типов к физическим моделям. Целью скорее было сопоставление идей и внутренней логики разработанной Г.Кантором теории с новыми физическими концепциями, вплотную касающимися таких вещей как понятия актуальных нуля и бесконечности, неархимедовость числовой системы, неаристотелевская логика и др. Проблематичность непосредственного приложения теории порядковых типов к множествам значений физических величин связана еще и с тем, что Кантором были использованы классические представления о точечных множествах, континууме, непрерывности. В результате трансфинитное не могло быть выражено каким-либо вещественным числом, которое характеризовало бы реальную физическую величину. Ценность результатов Кантора состоит в том, что им была правильно показана главная качественная особенность всей проблематики трансфинитного, а именно - сочетание аспектов конечности и бесконечности в одном математическом объекте. Поэтому, хотя аксиоматика и область применения результатов теории типов полностью принадлежат классической математике, в отношении философско-методологического содержания теории можно с уверенностью сказать, что Кантору удалось достичь принципиально более глубокого уровня, опередив почти на столетие развитие научных идей.

В противоположность классическому подходу нами в качестве исходных приняты представления об актуальном нуле, о неархимедовости, о существовании ограниченных актуально бесконечных множеств. Как было показано выше, получаемые на этой базе выводы, касающиеся свойств актуально бесконечного, находятся в замечательном качественном соответствии с характеристикой трансфинитного и абсолютного в теории Г.Кантора. Подобное согласие результатов, конечно, не может быть простым совпадением, не обусловленным внутренним единством двух противоположных подходов. Скорее в этом следует усматривать проявление некой объективно существующей системы свойств, диалектически объединяющей указанные противоположные представления. Не исключено также, что теория множеств допускает обобщение или переформулирование с учетом постнеклассических представлений. Так или иначе, развитая Кантором методология изучения свойств актуально бесконечного в математике служит надежным и единственным фундаментом для анализа взаимосвязи конечного и бесконечного в других науках и, прежде всего, в постнеклассической физике. Можно прийти к выводу о том, что математическая концепция актуально бесконечного получает, в частности, широкое поле применения в физике, учитывающей существование высокоэнергетического предела применимости специальной теории относительности.

Проведенное выше подробное сопоставление положений и выводов теории порядковых типов с новыми фундаментальными физическими представлениями позволяет, в частности, отметить следующее. Значение определенной для каждого конкретного микрообъекта величины vⁱ _max, являясь конечным, в тоже время служит пределом трансфинитной последовательности (множества), включающей все возможные значения скорости объективно наблюдаемого относительного движения данного объекта (vⁱ _w). По отношению ко множеству Vⁱ конечное значение vⁱ _max играет роль бесконечности и по существу является относительным актуально бесконечным числом. Тем самым, vⁱ _max с полным основанием следует присвоить статус трансфинитной величины, подразумевая под этим не сверхконечное порядковое число (тип) бесконечного множества, а конечное число, количественно равное самому бесконечному множеству. Задание vⁱ _max позволяет однозначно выделить, индивидуализировать соответствующее множество Vⁱ, и в том числе - определить арифметические и др. математические операции с его элементами. В частности, неархимедовость сложения (5.2) в асимптотическом смысле обеспечивает упомянутое выше равенство vⁱ _max множеству Vⁱ, т.е. сумме всех элементов актуально бесконечного множества Vⁱ. Являясь трансфинитным (сверхконечным) по отношению к элементам множества Vⁱ, vⁱ _max выступает как конечная величина по отношению к V^j, которое характеризуется большим предельным значением (т.е. vⁱ _max > vⁱ _max). Бесконечное множество всех возможных значений относительных актуально бесконечных величин vⁱ _max ограничено значением абсолютной актуально бесконечной величины c. Абсолютный характер последнего проявляется в его инвариантности: оно не подлежит ни увеличению, ни уменьшению, не зависит от выбора инерциальной системы отсчета, принадлежа к характеристикам отличного от вещественного вида материи.

Открытие того факта, что c играет роль абсолютной актуальной бесконечности для множества относительных скоростей обеспечивает, в частности, новый угол зрения на проблему кинематики вещественных объектов в планкеонном эфире. В главе 2 было показано, что свойство лоренц-инвариантного покоя эфира логически совместимо с существованием относительного движения вещественных объектов при условии, что элементарное движение заключается в смещении на лоренц-инвариантную минимальную длину l_pl со скоростью c. Величина l_pl уже по своему определению играет роль актуального нуля множества всех длин. Соответственно, суммирование “отрезков пути” любого числа элементарных движений не приводит к какой-либо величине, отличной от l_pl. Данные формально-логические рассуждения были положены нами в основу новых представлений о кинематике вещественных объектов и взаимосвязях эфира, вещества и поля.

Из общих соображений взаимосвязи инвариантных физических величин¹ можно сделать вывод, что c является единственным возможным значением скорости, которое следует приписывать элементарному движению. Как известно, инвариантный характер c приводит, согласно специальной теории относительности, к относительности одновременности, - одновременными являются события, связанные нулевым (световым) интервалом. Если учесть это положение, то оказывается, что элементарное смещение на расстояние l_pl за время t_pl = l_pl: c нельзя рассматривать как процесс в обычном понимании. Как было показано в главе 2, вещественный наблюдатель в качестве длины минимального объекта, совершающего последовательность элементарных движений, воспринимает величину 2Ч l_pl. Причем наблюдатель принципиально не сможет воспринять перманентные элементарные смещения наблюдаемого минимального объекта как процесс движения, в силу чего в традиционном смысле должен будет принять величину 2Ч l_pl в качестве длины покоя минимального вещественного объекта.

Здесь, на первый взгляд неожиданно, происходит соединение в одном явлении двух классических противоположностей: элементарное движение объекта воспринимается как покой, а покой представим как совокупность элементарных движений. Понимание этой ситуации может быть существенно облегчено, если учесть роль c как актуально бесконечной скорости. Даже в классическом представлении движение объекта с бесконечной скоростью закономерно неотличимо от покоя, поскольку тело сразу занимает все возможные места своей траектории и куда-либо сместиться не может². В новом понимании величина c, являясь конечной (в смысле классической математики), в то же время выполняет роль бесконечности для множества относительных скоростей. Поэтому неудивительно, что логика позволяет представить покой объекта в эфире как последовательность элементарных смещений с актуально бесконечной скоростью c. Каждое элементарное движение принципиально неотличимо от покоя. Можно заключить, что вывод об инвариантном покое вещественного объекта в планкеонном эфире является логическим следствием свойства изотахии движения в дискретно-непрерывном пространстве-времени. Учитывая сказанное, можно также сделать вывод, что конечная величина c выступает сразу в двух противоположных ролях: абсолютно бесконечной величины для множества относительных скоростей и нулевой скорости объектов, покоящихся в эфире. Данный диалектический уровень понимания движения и покоя подтверждает правильность изложенных выше результатов, касающихся проблемы инвариантного покоя эфира, формирования минимальных вещественных объектов, применения неархимедовой арифметики и др.

В приведенной выше характеристике величины c на поверхность выходит то обстоятельство, что истинной противоположностью абсолютно бесконечному является не конечная величина, а нуль как полное отрицание какого-либо количества³, точнее как величина, не способная к дальнейшему уменьшению. Что же касается конечного, то его противоположностью, по-видимому, служит трансфинитное (относительно бесконечное). Диалектическое единство данных противоположностей заключается в том, что для каждой из этих двух пар противоположных понятий существует единый реальный объект (процесс), свойства которого объективно проявляются в форме той или иной противоположности в зависимости от выбора конкретной точки зрения на это явление. Объединение свойств абсолютно бесконечной и нулевой величин для множества значений относительных скоростей обеспечивается свойствами планкеонного эфира, в то время как конечные и трансфинитные значения скоростей существуют благодаря кинематике вещественных объектов. Описанное попарное единство противоположностей математически проявляется в упомянутом выше нарушении коммутативности операции сложения. Для пояснения сказанного можно привести следующий пример:

vⁱ _w vⁱ _max = vⁱ _max; vⁱ _max vⁱ _w > vⁱ _max.

Первое выражение указывает на то, что vⁱ _max обладает свойствами бесконечности по отношению к элементам Vⁱ. При скорости относительного движения, равной vⁱ _max имеет место так называемый уход объекта под шварцшильдовский радиус, что приводит, согласно общей теории относительности, к координатному эффекту, заключающемуся в “остановке” хода часов, связанных с наблюдаемым объектом. Как следствие, - становится физически невозможным наблюдение с помощью данного объекта относительного движения со скоростями, превышающими vⁱ _max. Второе выражение, в противоположность первому, подтверждает доступность vⁱ _max увеличению, о чем подробнее говорилось выше. Иными словами, значение трансфинитной величины сочетает в себе свойства конечного и относительно бесконечного числа, проявляя то или иное в зависимости от конкретной ситуации.

Для величины c аналогично можно формально записать:

придав этим выражениям следующую интерпретацию. Первое равенство предполагает, что скорость v, характеризующая состояние относительного движения пары вещественных объектов, инвариантно покоящихся в планкеонном эфире, суммируется с единственно допустимой в эфире скоростью движения (например, скоростью фотона). Этим равенством формально подчеркивается аспект абсолютной бесконечности, содержащийся в c. Второе равенство можно сопоставить следующей конкретной ситуации: если попытаться суммировать относительную скорость v движения двух вещественных объектов со скоростью их элементарных движений в планкеонном эфире, то обнаруживается, что c проявляет свойства нуля, никак не влияя на значение v. Как видим, интерпретации c как нуля и бесконечности базируются на одном и том же процессе (состоянии движения объектов в эфире) и на свойствах самого эфира. И хотя с точки зрения физики вещественных объектов операции с величиной c, возможно, не являются вполне корректными, математически эти записи наглядно выражают аспект диалектического единства противоположных понятий (нуля и бесконечности).

Заметим, что обобщенное числовое множество, описанное в главе 4, предполагает существование числа , которое синтезирует свойства нуля и бесконечности. По-видимому, может оказаться подходящим математическим средством формализации указанных физических свойств величины c (и других инвариантных физических величин).

Кантор как математик не был озабочен проблемой объяснения факта некоммутативности сложения трансфинитного. В то же время он был убежден в адекватности своих выводов реальности. “...Если мы возьмем какое-либо бесконечное число, мыслимое как определенное и законченное, то к нему отлично можно прибавлять и соединять с ним какое-либо конечное число, и это вовсе не повлечет за собой уничтожения последнего (наоборот, бесконечное число изменяется от подобного прибавления к нему конечного числа). Только обратное действие, именно прибавление бесконечного числа к конечному, когда сначала полагается конечное число, вызывает уничтожение последнего, не приводя к модификации первого. Эта правильная точка зрения... должна была бы вызвать новые идеи не только в анализе, но и в других науках, особенно в естествознании.”⁴.

Некоммутативность сложения актуально бесконечных чисел не носит характер частного, изолированного следствия используемых физических постулатов или математических аксиом. Это новое необычное свойство находится в глубокой внутренней взаимосвязи с ядром, сущностью создаваемой постнеклассической методологии, отвечающей диалектическому уровню познания. С полной уверенностью следует признать, что нарушение коммутативности сложения в теории типов есть закономерное проявление диалектики бесконечного. Именно в такой математической форме Кантору удалось формально выразить то, что результат действий с актуально бесконечными числами зависит от того, какое именно содержание (аспект) формализуемой операции принимается нами во внимание в той или иной конкретной ситуации. Реальное сочетание в трансфинитном свойств конечного и бесконечного потребовало соответствующей корректировки применяемой логики: однозначный линейный дихотомический подход (по принципу “или то - или другое”) заменяется тут более общим, неоднозначным (“и то, и другое”⁵). На этом уровне понимания уже невозможно без уточнения сути выполняемой процедуры прийти к определенному результату. Предложенный Кантором способ формализации этой логики через порядок записи слагаемых замечателен тем, что показывает принципиальную возможность сохранения традиционных математических операций (основанных на классической логике) в области описания явлений, явно выходящих за рамки линейной аристотелевской логики.

Это достижение Кантора (возможно, не оцененное им самим в полной мере) заслуживает особого внимания. Оно по существу является первым примером решения проблемы отображения диалектически противоречивых свойств реальных объектов посредством идеализированных представлений и соответствующих им математических абстракций. Актуальность этой проблемы связана с тем, что фундаментальные свойства реальности не даны нам непосредственно в чувственном опыте, но подлежат познанию через мышление, которому свойственно стремление к строгости понятий и однозначности умозаключений. В ситуации нарушения закона исключенного третьего идеализированные логические формы мышления не срабатывают, и мы лишаемся традиционного инструмента познания действительности. Возможный выход из этого тупика связан с тем, что любое диалектически противоречивое понятие (определение, высказывание), выраженное в логически противоречивой форме, допускает такое уточнение, что смысл понятия сохранится, но по форме оно уже не будет логически противоречивым⁶. Действительно, стоит нам при сложении конечного и трансфинитного чисел конкретизировать содержание выполняемой операции, как неоднозначность результата заменяется полной определенностью, что позволяет осуществлять дальнейший процесс познания посредством традиционных логических форм мышления. Тем самым можно сделать вывод, что диалектически противоречивые понятия не приводят к гносеологическому тупику. Напротив, их следует использовать как ориентиры для развития фундаментальных представлений и - по мере развития логики - как конструктивные средства создания новых обобщенных теорий.

Другим примером нарушений законов формальной логики, возникающих при изучении свойств трансфинитного, является то, что трансфинитное число можно “рассматривать и как четное, и как нечетное число. С другой же точки зрения ... можно было бы сказать, что не есть ни четное, ни нечетное число”⁷. Этот вывод не менее ярко, чем некоммутативность сложения, демонстрирует нарушение закона исключенного третьего, его замену внешне противоречивым логическим принципом типа “и то, и другое”. Подобная неоднозначная логика, будучи буквально примененной в частной ситуации, привела бы к неопределенным результатам, лишая соответствующие модели и теории какой-либо практической познавательной ценности. Поэтому область применения неаристотелевской логики (в частности, принципа “и то, и другое”) неизбежно является ограниченной, несмотря на то, что эта логика служит для отображения наиболее общих свойств действительности. Ограниченность проявляется при переходе от целого к части, от общего к единичному, от конкретного к абстрактному, от реального к идеальному, в результате чего многообразие свойств отображаемой реальности сужается и в пределе выражается в однозначных абстрактных терминах тех или иных классических идеальных понятий. Тем самым совершается и переход от собственно-диалектического (по методу) постнеклассического уровня представлений о реальности через господствующий сегодня неклассический к классическому уровню (метафизическому по методу). Если для последнего важнейшим методологическим требованием является абсолютная определенность, однозначность (линейность) суждений, то второй допускает борьбу противоположных качеств и тем самым ставит результат рассуждений в зависимость от “баланса сил” противоборствующих тенденций. Это проявляется в развитии все более усложняющихся нелинейных моделей реальности, а определенный результат в ряде случаев оказывается принципиально непредсказуемым. Этот второй уровень характерен в целом для современного неклассического этапа развития науки. К данному уровню принадлежит и знаменитый принцип дополнительности. От собственно-диалектического подхода его отделяет именно идея о взаимной дополнительности описания противоположных свойств реального объекта. Собственно-диалектический метод предполагает не механистическое соединение совершенно различных свойств, но связан с признанием их органического единства, т.е. существования такого общего свойства, которое бы в том или ином конкретном предельном случае сводилось бы к своей определенной частной стороне.

Истина, очевидно, заключается не в дополнении противоположностей, а в их единении⁸. Двузначность, являющуюся трудностью, непреодолимой для формальной логики, можно разрешить только одним путем: не ее упразднением, а отысканием такой однозначности, которая содержала бы в себе двузначность как свой собственный момент⁹. Для формальной логики существует только конечное логическое, категория конечного лежит в основе всей формальной логики. В противовес ей логическое, оправдывающее “двузначность”, (т.е. диалектико-логическое) есть бесконечно-логическое¹⁰, которое существует как логическое единство противоположностей, содержит в себе конечное логическое в качестве момента. Иными словами, рассматриваемые в формальной логике умозаключения имеют аналитическую природу, в то время как диалектическая логика, будучи логикой категорий, призвана обосновывать синтетические суждения.

Концепция дополнительности была выдвинута Бором в связи с необходимостью перехода к неклассической физике, потребовавшей более общей логической схемы. Так в работах Биркгоффа, Неймана, Вейцзекера было показано, что логическая схема квантовой механики может интерпретироваться как видоизменение классической (аналитической) логики, которая в качестве предельного случая содержится в “квантовой логике”. В частности, по мнению Рейхенбаха, только трехзначная логика может обеспечить адекватную интерпретацию квантовой механики¹¹. Нетрудно предположить, что дальнейший переход к постнеклассической физике требует и дальнейшего обобщения логической схемы.

1 Шарыпов О.В. О роли планкеонной концепции в формировании основ единой фундаментальной теории // Гуманитарные науки в Сибири. - 1997. - № 1. - С. 97-102.

2 Климец А.П. Как построить антигравитационный двигатель? - Брест, 1994.

3 Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987.

4 Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - С. 73.

5 Урманцев Ю.А. Симметрия / В кн.: Пространство, время, движение. - М.: Наука, 1971. - С. 126-166.

6 Петров Ю.А. Проблемы логического отображения движения / В кн.: Пространство, время, движение. - М.: Наука, 1971. - С. 595-618.

7 Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - С. 77.

8 Познер А.Р. О логическом аспекте идеи “дополнительности” // Вопросы философии. - 1966. - № 2. - С. 68-77.

9 Церетели С.Б. К понятию диалектической логики // Вопросы философии. - 1966. - № 3. - С. 31-38.

10 Там же.

11 Познер А.Р. О логическом аспекте идеи “дополнительности” // Вопросы философии. - 1966. - № 2. - С. 68-77.

Сайт создан в системе uCoz