Кантор, относя реальность конечных чисел к интрасубъективному или имманентному виду реальности, утверждал также, что существует транссубъективный или транзиентный вид реальности, связанный с “выражением процессов и отношений во внешнем мире, противостоящем интеллекту”¹. К нему он относил и актуально бесконечные числа. Для Кантора “не подлежит никакому сомнению, что оба эти вида реальности всегда совпадают в том смысле, что какое-нибудь понятие, принимаемое за существующее в первом отношении, обладает в известных, даже бесконечно многих отношениях и транзиентной реальностью. Правда, установление этой последней по большей части принадлежит к самым трудным и утомительным задачам метафизики и часто должно быть оставлено до тех времен, когда естественное развитие одной из прочих наук раскроет транзиентное значение рассматриваемого понятия. Эта связь обеих реальностей имеет свой собственный корень в единстве всего, к которому мы сами принадлежим”². Учитывая, что целью настоящей главы является обоснование и конкретизация онтологического (“транзиентного”) содержания математического понятия актуально бесконечного с тех позиций, что свойства этого понятия “зависят исключительно от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола и наших предрассудков”³, можно сделать вывод об актуальности для нашего исследования анализа содержания этого понятия в рамках канторовской теории множеств.

Говоря об особенностях теоретико-множественных представлений о бесконечном, прежде всего, следует отметить, что, исследуя бесконечные множества, Кантор представлял их не в форме потенциально (“несобственно”) бесконечных рядов, а существующими целиком, в “завершенной” форме, но содержащими бесконечное число элементов. Рассуждая о бесконечности, Кантор отмечал: “В первой форме в качестве несобственно бесконечного она представляется как переменное конечное. В другой форме, в которой я называю ее собственно бесконечным, она выступает как вполне определенное бесконечное. Бесконечные реальные целые числа, в которых мы имеем конкретные числа с реальным значением, не имеют ничего общего с первой из двух названных выше форм, с несобственно бесконечным... Мы получаем не просто одно-единственное бесконечное целое число, но бесконечную последовательность чисел, которые определенно отличимы друг от друга и находятся в закономерных теоретико-числовых отношениях друг к другу и к конечным целым числам. Правда, эти отношения не таковы, чтобы их можно было свести по существу к отношениям конечных чисел между собою”⁴. Наглядным примером математической актуальной (оконеченной) бесконечности может служить множество всех вещественных чисел в отрезке [0, 1]. В самом деле, учитывая смысл переменных величин, используемых математикой, приходится признать, что возможность (потенция) для переменной принимать любые значения из некоторого бесконечного набора (например, из области рациональных или вещественных чисел, заключенных между 0 и 1) предполагает заранее существование (актуальность) множества этих значений⁵, тем самым актуально возможно существование не только конечных, но и бесконечных множеств.

Кантором было выдвинуто определение бесконечности как такого множества, в котором части и целое могут быть равномощны⁶, т.е. характеризоваться одним трансфинитным кардинальным числом. Например, мощность счетного множества не изменяется в результате прибавления любого конечного числа элементов. Поскольку каждому конечному или бесконечному множеству соответствует определенная мощность (кардинальное число), то операции над множествами сводятся к действиям над кардинальными числами. В случае конечных множеств имеет место обычная (архимедова) арифметика, а для бесконечных множеств - арифметика трансфинитная, законы которой выступают как обобщение законов архимедовой арифметики конечных множеств⁷. В обычной арифметике как количество элементов конечного множества, так и порядок их следования выражаются натуральными числами. “В случае конечных множеств мощность совпадает с количеством элементов, потому что, как известно, подобные множества в любом порядке имеют одно и то же количество элементов”⁸. “Мощность множества представляет собой ... атрибут, независимый от его расположения. Наоборот, количество множества является, как только мы имеем дело с бесконечными множествами, фактором, зависящим вообще от некоторой данной последовательности элементов”⁹. В трансфинитной арифметике приходится четко различать мощность (кардинальное число) и порядковый тип множества (называемый в частном случае вполне упорядоченного множества ординальным числом). Действия над ординальными трансфинитными числами () существенно отличаются от действий над ординальными числами конечных множеств (w). Так, например, коммутативный закон архимедовой арифметики в общем случае не выполняется:

w +№ + w.

Еще одним важным свойством бесконечного, как показал Кантор, является момент относительности, выражающейся в том, что между трансфинитными числами можно проводить сравнение. Традиционное представление о единственной в своем роде (абсолютной) бесконечности сменилось понятием существования трансфинитных чисел различных порядков, называемых Кантором “модификациями актуально бесконечного”¹⁰.

Перечисленные характерные свойства трансфинитных чисел подчеркивают их качественное отличие от конечных чисел, бесконечность как бы ускользает от попыток “оконечить” ее и заключить в рамки обычной логики. Вместе с тем Кантор указывал на единство конечного и бесконечного: “...никогда нельзя будет отрицать существование бесконечного, сохраняя в то же время существование конечного. Отрицая одно, мы должны отбросить и другое, но куда бы мы пришли, следуя этим путем?”¹¹.

Теория множеств Г.Кантора явилась фундаментальной теорией, которая давала тщательный научный анализ математического понятия бесконечности и тем самым служила основанием всей математики. Однако в ней обнаружился ряд противоречий, ведущих к парадоксальным ситуациям. Первый парадокс теории множеств обнаружил сам Г.Кантор в 1895 г. Он был опубликован итальянским математиком Бурали - Форти в 1897 г., который открыл его независимо от Кантора. Содержание парадокса Бурали - Форти заключается в том, что при образовании множества всех трансфинитных порядковых чисел создается новый порядковый тип, которого еще не было среди “всех” трансфинитных порядковых чисел, существовавших до образования множества всех трансфинитных порядковых чисел. Тем самым процесс образования подобного множества оказывается бесконечным, т.е. лишь потенциально осуществимым. Выполнив заданную процедуру, мы каждый раз приходим к выводу о том, что она не выполнена! Второй парадокс, открытый Кантором в 1899 г., касается множества всех трансфинитных кардинальных чисел (множества всех множеств). Оказывается, что одинаково логично доказываются два противоречащих положения. Т.е. мощность множества всех подмножеств множества M одновременно и больше, и меньше мощности множества M, что логически недопустимо. Философская основа парадоксальности полученных результатов заключается в том, что диалектическая противоречивость актуальной бесконечности (в данном случае - части и целого) с необходимостью выражается в формально-логических противоречиях. Возникает ситуация, когда диалектические противоречия не могут быть выражены иначе, как только через формально-логическое противоречие, т.е. через совмещение двух противоречащих друг другу суждений¹². Дело в том, что изменчивость того предмета, высказывания о котором рассматриваются, не принимается во внимание в традиционной (линейной) логике, в то время как в данных парадоксах явно обнаруживается изменчивость того, о чем высказывается суждение, потому что само высказывание оказывает влияние на это. Поэтому мы и сталкиваемся здесь с нарушением всех основных логических законов. Закон тождества не может применяться, когда обнаруживается нетождественность себе субъекта и предиката; закон противоречия тоже оказывается неприменимым, когда с одинаковым правом выводятся два противоречащих суждения; о применимости закона исключенного третьего также говорить невозможно, когда это третье приходится признавать, а не исключать, поскольку ни первое, ни второе не могут быть признаны одно без другого, ибо они оказываются одинаково правомерными.

Данные и ряд других парадоксов теории множеств, связанных с использованием понятия актуальной бесконечности, подтвердило противоречивый характер этого понятия, не укладывающегося в рамки традиционной (аристотелевской) логики¹³. Но все попытки разрешить или сгладить возникшие противоречия, придать абсолютную строгость основаниям математики (даже ценой отказа от актуальной бесконечности, перевода ее в разряд идеальных высказываний¹⁴) оказались безуспешными. Диалектически противоречивый характер математического понятия актуальной бесконечности требует соответствующего (диалектического) обобщения законов логики. Решиться на подобный шаг и тем более указать его объективное содержание, опираясь лишь на абстрактные математические соображения, непросто. Поэтому необычайно важным является анализ установленных физических закономерностей на предмет выявления на фоне всего разнообразия взаимосвязей реального мира возможных проявлений свойств бесконечного. В случае убедительного подтверждения факта объективного существования актуально бесконечных физических величин появилась бы и объективная основа для решительного пересмотра привычных законов логики (в частности, для ограничения сферы применимости закона исключенного третьего) в направлении приведения их в соответствие диалектическому уровню научных представлений. Успешный переход к этому уровню предполагает понимание реальной основы, объединяющей те или иные противоположности, проявляющиеся в мире.

Любые принципиальные математические результаты, в том числе - полученные Кантором, с необходимостью имеют определенное отношение к свойствам объективной реальности, поэтому дальнейшее содержание настоящей главы непосредственно связано с рассмотрением некоторых физических данных, представлений и гипотез с целью выявления онтологических закономерностей, обладающих качественными особенностями, соответствующими перечисленным выше свойствам трансфинитного, что позволит раскрыть физический смысл данной математической абстракции бесконечности.

Под множеством Кантор понимал “вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона...”¹⁵. Попытаемся кратко проанализировать, в какой мере канторовское понимание множества применимо для описания физических множеств, т.е. множеств значений конкретных физических величин. Исходя из самых общих предпосылок, можно сказать, что исчерпывающая характеристика любого физического множества должна включать качественную и количественную стороны. Традиционно под качественной характеристикой физического множества подразумевалось лишь то специфическое, что именуется размерностью физической величины, значения которой составляют данное множество. На основе этого признака в физике различаются множества значений длины, скорости и пр. Математический аппарат заведомо абстрагирован от этих качественных отличий физических множеств. Тем не менее, в математической теории порядковых типов¹⁶ дополнительно введено определенное понятие, отражающее некую качественную особенность заданного числового множества. “Если в некотором заданном множестве M ... мы отвлечемся как от свойств элементов, так и от порядка их задания, то у нас возникает определенное общее понятие..., которое я называю мощностью множества M... Я условливаюсь обозначать мощность множества M через . Две черточки над M должны означать, что над M совершен двойной акт абстракции как в отношении свойств элементов, так и в отношении их взаимного порядка.”¹⁷. Обозначение используется Кантором для понятия порядкового типа множества M. Одна черта над M означает единственный акт абстрагирования - лишь от свойств элементов. “Элементы при этом сохраняют и в понятии тот же взаимный порядок, с каким они мыслятся в M in concreto.”¹⁸. Как видим, даже после абстрагирования от “свойств элементов” (т.е. от физической размерности) в качестве характеристики множества остается не “чистое” количество элементов (мощность), но количество, зависящее от взаимного порядка элементов, называемое порядковым типом множества. Чтобы сравнивать множества в “чисто” количественном отношении, Кантор использует понятие мощности (кардинального числа) множества. Два множества и эквивалентны (или равномощны) в смысле совпадения “чистых” количеств составляющих их элементов =, если между этими множествами “можно установить по некоторому закону взаимно однозначное и полное поэлементное соответствие”¹⁹. Равномощные множества в общем случае могут иметь различный порядковый тип (ординальное число). Совпадая для конечных множеств, кардинальные и ординальные числа для актуально бесконечных множеств отличаются друг от друга. “...Понятие целого числа, имеющее в области конечного под собой лишь понятие количества, как бы раскалывается, когда мы поднимаемся в область бесконечного, на два понятия - понятие мощности, независимое от придаваемого множеству порядка, и понятие количества, необходимым образом связанное с некоторым закономерным порядком множества, благодаря которому последнее становится вполне упорядоченным множеством.”²⁰. Спускаясь обратно из области бесконечного в область конечного “оба понятия становятся одним и сливаются в понятие конечного множества”²¹. На наш взгляд, понятие мощности характеризует “чистое” количество элементов множества, а порядковый тип отражает качественную индивидуальность данного математического (числового) множества.

Задаваясь закономерным вопросом, чему в физике может соответствовать введенный Кантором порядковый тип множества, нетрудно прийти к выводу, что ни в классической, ни в неклассической физике не существует системы представлений, подобной канторовской теории типов. Не видел их, в свою очередь, и Кантор, что, по-видимому, ничуть его не смущало: “...математика имеет полное право развиваться совершенно независимо от всяческих метафизических влияний”²². Тем не менее, если мы подходим к анализу бесконечного с онтологической точки зрения, нам необходимо ответить на вопрос о том, почему существующие на сегодня физические теории не содержат представлений, которые математически отображались бы порядковым типом множества или иным понятием, характеризующим качественную индивидуальность данного физического множества?

Нам представляется наиболее логичным следующий ответ. Все физические теории, как правило, используют потенциально бесконечные множества значений физических величин. На деле это означает, что значение той или иной физической величины всегда имеет характер лишь переменного конечного (“...Взятое всегда бывает конечным...”²³.) Во всех теориях, использующих потенциально бесконечные физические множества, сама бесконечность (Ґ) нигде в конкретных ситуациях не фигурирует, а ее появление означает лишь неблагополучность данной теории. После абстрагирования от физической размерности значений величин эти теории, будучи интерпретированы в математических понятиях, оперирует с математическими множествами, по существу являющимися конечными числовыми множествами. Для последних же, как известно, кардинальное число (мощность) не отличается от ординального числа. Кантор даже указывает, что в конечных множествах эти понятия “сливаются”, т.е. было бы бессмысленным пытаться выявить какую-либо индивидуальную особенность в конечном числовом множестве. Тем самым, в физических теориях закономерно отсутствуют представления о том, что множества могут чем-либо различаться помимо физической размерности. Более близким физике языком можно сказать, что для конечных (как и для потенциально бесконечных) множеств количество элементов и определение операций с ними универсальны вследствие абстрагированности от индивидуальной внутренней структуры множеств. В то же время вряд ли может вызвать априорные принципиальные физические возражения следующее предельно общее суждение о том, что причастность физического множества к тому или иному конкретному объекту (процессу) должна, вообще говоря, определять некую качественную специфику этого множества. Не исключено, что на абстрактном математическом языке подобная вероятная специфика физического множества может быть интерпретирована как тип упорядоченности элементов соответствующего математического множества. Причем для того, чтобы понятие специфики физического множества было содержательным, необходимо, чтобы математическим отображением этого множества служило не конечное (или потенциально бесконечное) множество, но множество актуально бесконечное.

1 Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - С. 79.

2 Там же. - С. 79.

3 Там же. - С. 263.

4 Там же. - С. 65.

5 Панченко А.И. Континуум и физика. - М.: Наука, 1975.

6 Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - С. 22-24.

7 Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. - М.: Наука, 1983.

8 Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - С. 66.

9 Там же. - С. 68.

10 Там же. - С. 284.

11 Там же. - С. 73.

12 Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 98.

13 В частности, Э.М.Чудинов (Чудинов Э.М. Аксиоматический характер тезиса о бесконечности Вселенной в релятивистской космологии и закон исключенного третьего / В кн.: Философские проблемы теории тяготения Эйнштейна и релятивистской космологии. - Киев: Наукова думка, 1965. - С. 318-325.) отмечает невозможность обсуждения проблемы бесконечности Вселенной в рамках двузначной логики с применением закона исключенного третьего.

14 Гильберт Д. О бесконечном / В кн.: Гильберт Д. Основания геометрии. - М. - Л., 1948. - С. 348.

15 Кантор Г. Труды по теории множеств. - М.: Наука, 1985. - С. 101.

16 Там же.

17 Там же. - С. 298.

18 Там же. - С. 298.

19 Там же. - С. 298.

20 Там же. - С. 79.

21 Там же. - С. 79.

22 Там же. - С. 81.

23 Мелюхин С.Т. Материя в ее единстве, бесконечности и развитии. - М., 1966. - С. 118.

Сайт создан в системе uCoz