Проблема бесконечности в настоящее время приобретает все большее значение для различных отраслей научного знания - философии, математики, физики и др., а также играет принципиальную роль в решении ряда мировоззренческих проблем. История науки позволяет проследить развитие и борьбу противоположных концепций, связанных с рассмотрением тех или иных аспектов бесконечного.

Начиная с древних философских учений, ведется дискуссия между сторонниками финитизма и инфинитизма. Их позиции по существу могут быть сведены, соответственно, к отрицанию или признанию существования бесконечного как в форме беспредельности, так и в форме бесконечной делимости. В античной науке финитизм был связан с математическим идеалистическим “атомизмом” пифагорейцев или материалистическим атомизмом Левкиппа и Демокрита. Демокрит, отвергая в своем атомистическом учении бесконечную делимость, отрицал тем самым бесконечность, рассматриваемую как бы “вглубь”. Однако бесконечность, взятую “вширь”, т.е. бесконечное число единиц, существующих одновременно, Демокрит неоднократно признавал существующей¹. Именно идея атомизма при категоричном и одностороннем ее понимании часто становилась в истории науки жестко финитистской концепцией. В противоположность финитистскому атомизму Анаксагор считал, что “материя делима до бесконечности, самое малое заключает в себе бесконечность”². Аристотель указывал на то, что из утверждений Анаксагора вытекает, будто “в конечной величине... бесконечное множество равных конечных (частей), что невозможно”, “в непрерывном заключено бесконечное (число) половин, но только не в действительности, а в возможности”³. Следует отметить, что на протяжении тысячелетий ни одна из противоположных концепций не смогла утвердиться в качестве достаточной базы для удовлетворительного логического решения возникающих мировоззренческих и конкретно-научных, в частности, математических, проблем.

В подходах инфинитистов имелись заметные разногласия по вопросу о том, наличествует ли только потенциальная бесконечность как “возможность всего конечного”⁴, или следует признать также и существование актуальной бесконечности, которая не только заключается в возможной беспредельной последовательности каких-либо объектов или актов, но и дана целиком, сразу во всем своем объеме. Например, знаменитая аксиома Евдокса - Архимеда сводила бесконечность только к потенциальной, поскольку утверждала, что для любых двух неравных величин путем деления большей из них пополам рано или поздно можно достичь такого момента, когда большая величина превратится в меньшую из двух. Согласно Аристотелю, следует принимать не актуальную бесконечную разделенность, но потенциальную бесконечную делимость в смысле неограниченной возможности подразделения⁵. У Платона беспредельность, так же как у Аристотеля, выступает как некая постоянная возможность процесса деления, т.е. как потенциальная бесконечность⁶. Актуальная бесконечность признавалась средневековыми философами как выражение абсолютной полноты и совершенства божественных атрибутов. Фома Аквинский связывал ее с неподвижностью, постоянством. Это характерная черта метафизического отождествления бесконечного с абсолютным “в чистом виде”, оторванным и противопоставленным относительному. (Данное понимание перешло в объективно-идеалистическую философию неотомизма.) В средние века появились и зачатки концепции множественности актуальной бесконечности (Сабит Ибн Корра, Роберт Линкольнский)⁷ Во взглядах философов нового времени на проблему бесконечного начинает проявляться тенденция отхода от схоластики в пользу соотнесения умозрительных рассуждений с эмпирическим уровнем научного познания, с практикой. Так Дж.Бруно отстаивал мнение о том, что Вселенная бесконечна “вширь”, но не делима до бесконечности, в природе нет оснований для мыслимого, математического деления до бесконечности⁸.

С особой остротой разногласия о характере бесконечности проявлялись в споре о сущности, актуальности бесконечно малых величин. Анализируя процесс бесконечного деления геометрических фигур, Галилео Галилей ввел так называемые “неопределенные неделимые”, что-то вроде бесконечно малых, впоследствии успешно используемые И.Кеплером и Б.Кавальери на практике. Однако применение ими “неопределенных неделимых” не сопровождалось соответствующим анализом содержания этого понятия, несущего в себе неизбежное противоречие, ибо данные величины не могли быть конечными, но не могли быть и нулевыми⁹. Несмотря на достигнутые с помощью этого метода математические успехи, почва для противостояния философских концепций финитизма и инфинитизма сохранялась. Так Р.Декарт, отождествляя пространство и материю, считал, что “...невозможно существование каких-либо атомов, т.е. частей материи, неделимых по своей природе, как это вообразили некоторые философы”¹⁰. В противоположность этому, П.Гассенди, выступая против бесконечной делимости тел, высказывал мнение, что в конечном теле никак не может содержаться бесконечное ни по протяженности, ни по числу¹¹. В этот же период, несмотря на религиозные предрассудки и возражения агностиков, передовыми философами и математиками делаются шаги в направлении конкретизации представлений о природе бесконечности. Знаменательным результатом явилось доказательство Декартом того, что сумма бесконечного ряда 10^-1 + 10^-2 + 10^-3 + ... и т.д. равна 9^-1. Был поставлен вопрос о частях бесконечности, о множественности бесконечностей. “Что одно бесконечное может быть больше другого, - писал Б.Кавальери¹², - я осмелился положить прочнейшим основанием геометрии.” Позднее И.Ньютон выявил связь бесконечно малых различных порядков с движением, а во взглядах Г.Лейбница на проблему соотношения конечного и бесконечного уже отчетливо просматривается диалектическая тенденция, замещающая ведущую к заблуждениям метафизическую “четкость”. Определенной реакцией на попытки изучения объективных свойств бесконечности являлась точка зрения, согласно которой бесконечность сводилась к неопределенности (Т.Гоббс) или вовсе отрицалась (Беркли, Д.Юм).

Существенный вклад в философское осмысление сущности бесконечного был сделан И.Кантом. Кант ввел определенное разделение, которое позволило при допущении бесконечной делимости целого не признавать актуального существования бесконечного множества частей в целом. По мнению Канта, хотя все эти части содержатся “в созерцании целого, однако нем не содержится все деление”¹³. Только процесс разложения целого и делает ряд действительным (актуализирует бесконечное множество). Получается, что в целом содержатся все части, но не весь “ряд деления”¹⁴, и поэтому он никогда не станет “целым рядом” и, следовательно, “не может показывать бесконечного множества частей и собирания их в одно целое”¹⁵.

Проведенный Кантом тщательный анализ соотношения противоположностей (в том числе конечного и бесконечного) подготовил почву для идеи об их единстве, выдвинутой Г.В.Ф.Гегелем. Конечное и бесконечное всегда имеют качественное различие. “...Увеличение определенного количества не есть приближение к бесконечному...”¹⁶. Бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые не могут дальше уменьшаться или увеличиваться - это “на самом деле уже не определенное количество, как таковое”¹⁷, а “определенность величины в качественной форме”¹⁸. Противопоставленное конечному лишь в отношении “иного”, бесконечное оказывается “дурным бесконечным, бесконечным рассудка”¹⁹. “...Удерживая бесконечное чистым от конечного и вдали от него, мы его лишь оконечиваем.”²⁰. Истинное бесконечное есть отрицание отрицания, т.е. утверждение, а не отрицание. Гегель проводил аналогию между двумя видами, с одной стороны, “философского” бесконечного - метафизического и истинного, и, с другой стороны, математического бесконечного, которое тоже может быть или “дурным”, или истинным. (Под истинной бесконечностью Гегель, по существу, понимает актуальную бесконечность, бесконечность, в которой противоречия находятся в глубоком, внутреннем единстве²¹). Разница между философским и математическим бесконечным заключается лишь в том, что последнее есть частное, конкретное выражение философского бесконечного в специфической числовой форме²². В частности, бесконечность бесконечного ряда является “дурной”, метафизической, неистинной. Отношение же, которое выражается конечным числом, является истинным математическим бесконечным. Это объясняется тем, что в нем нет того несовершенства, той отрицательности, недостаточности, которые имеются в последовательности, получаемой из разложения данного числа. Гегелевское понимание диалектики конечного и бесконечного во многом предвосхитило конкретно-научные результаты математических работ Г.Кантора, касающиеся свойств трансфинитного (сверхконечного, актуально бесконечного).

На современном этапе развития математики проблема бесконечности приобрела особую остроту и принципиальность. Предпринимаемые в ХХ столетии различными математическими школами попытки устранения противоречий с целью строгого обоснования классической математики не привели к ожидаемым результатам. При этом был предельно четко обозначен “камень преткновения”, заключающийся, с одной стороны, в необходимости, а с другой, - в противоречивости понятия бесконечности. Выявленные противоречия не укладываются в рамки общепринятой аристотелевской логики и выражаются в появлении формально-логических парадоксов.

Современный уровень развития науки требует признания того, что бесконечность диалектически противоречива, ибо содержит в себе противоположные моменты. Она, с одной стороны, означает неисчерпаемость, неизмеримость, неохватность бытия, а с другой - его всеобщность, самоопределенность, замкнутость в себе. Первое выражает отрицательный момент понятия бесконечности, второе - положительный.

Содержание понятия бесконечности заключается не только в ее логико-гносеологическом аспекте, но также включает онтологическую сторону. Тем самым, для правильного конкретно-научного подхода к понятию бесконечности нужна философско-методологическая основа, а для содержательного философского анализа необходим опыт конкретизации содержания бесконечного в частных науках. Онтологические основания тех или иных общенаучных представлений следует искать, прежде всего, в физике (и космологии) как “наиболее онтологической” отрасли науки. Поиски решения проблемы бесконечности на уровне математических абстракций или философских обобщений остро нуждаются в соотнесении с установившимися и развивающимися физическими представлениями. Еще Аристотель пытался использовать рассуждения о бесконечности времени²³ для объективного обоснования потенциальной бесконечности. Однако положение о бесконечности времени (как и любой иной физической величины) само по себе требует предварительного научного обоснования. Традиционно физика заимствовала идеи о сущности бесконечности из философии и логики, поскольку не располагала данными онтологического характера ни о бесконечно больших, ни о бесконечно малых величинах. Лишь с открытием инвариантных физических величин и анализом их свойств, на наш взгляд, появляется возможность содержательного применения онтологически ориентированного подхода к решению вопроса о природе бесконечности²⁴ в дополнение к традиционно используемым чисто умозрительным методам философии и логики (математики). Сама возможность системного осуществления подобного подхода к вопросу о бесконечном является принципиально новой. Раскрывая бесконечное через инвариантное мы основываемся на том, что инвариантность означает в определенном смысле ту или иную степень (форму) всеобщности явления, а форма всеобщности, в свою очередь, есть “форма внутренней завершенности и тем самым бесконечности”²⁵. Эта задача относится полностью к компетенции теоретического мышления, поскольку всеобщность находится в сфере господства мысли и не доступна эмпирическому методу²⁶.

1 Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 14.

2 Маковельский А.О. Древнегреческие атомисты. - Баку, 1946. - С. 175.

3 Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 15.

4 Николай Кузанский. Сочинения, Т. 1. - М., 1979. - С. 67-68.

5 Панченко А.И. Континуум и физика. - М.: Наука, 1975. - С. 9.

6 Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 15.

7 Там же. - С. 19-21.

8 Там же. - С. 30.

9 Галилей Г. Избранные труды, Т. 1. - М., 1964. - С. 140-142.

10 Декарт Р. Избранные произведения. - М., 1950. - С. 475.

11 Гассенди П. Сочинения, Т. 1. - М., 1966. - С. 152.

12 Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 41.

13 Кант И. Сочинения, Т. 3. - М., 1964. - С. 472.

14 Там же. - С. 473.

15 Там же. - С. 473.

16 Гегель Г.В.Ф. Наука логики, Т. 1. - М., 1970. - С. 306.

17 Там же. - С. 324.

18 Там же. - С. 326.

19 Там же. - С. 204.

20 Там же. - С. 201.

21 Свидерский В.И., Кармин А.С. Конечное и бесконечное. - М.: Наука, 1966. - С. 147.

22 Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 82.

23 Аристотель. Сочинения, Т. 3. - М., 1981. - С. 111.

24 Впервые почву для подобного подхода можно найти в специальной теории относительности, выдвинувшей постулат об инвариантности скорости света в вакууме. При этом физики столкнулись со случаем очевидной бесконечности: скорость света бесконечна по сравнению со всеми скоростями вещественных объектов, которые можно наблюдать или создавать экспериментально, и как таковая не может быть увеличена. “Но даже и без этого все неувязки и противоречия старой физики, вскрытые и перечисленные Эйнштейном и снабдившие его материалом для построения его теорий, - все они без исключения являются результатом различия между бесконечным и конечным. Он и сам нередко ссылается на это.” (Успенский П.Д. Новая модель Вселенной: Пер. с англ. - СПб: Изд-во Чернышева, 1993. - С. 467.).

25 Энгельс Ф. Диалектика природы. - М., 1955. - С. 185-186.

26 Босенко В.А. О познании бесконечного в движении / В кн.: Философские проблемы теории тяготения Эйнштейна и релятивистской космологии. - Киев: Наукова думка, 1965. - С. 288-292.

Сайт создан в системе uCoz