Рассмотрим переход от размерной формы определения операций сложения и вычитания (), определенных на множестве длин l с конечной минимальной инвариантной длиной l_pl (см. раздел 2.1), к их безразмерной (числовой) форме. Традиционная процедура перехода от физической величины, например, классической длины r_iі 0, к ее численному выражению заключается в выборе характерного масштаба (эталона), имеющего величину r_u, и установлении однозначного соответствия между отношениями (r_i:r_u) и вещественными числами: (r_i:r_u)Ю x(r_i)О R.

Изменение представлений о структуре пространства сопровождается обобщением свойств протяженности, что можно попытаться отразить переходом от множества классических длин {r}, параметризуемого с помощью R, к множеству обобщенных длин {l}. Обобщение свойств протяженности влечет за собой определение нового вида числа (l)¹. Числа образуют множество (призванное служить для параметризации множества {l}) и должны служить обобщением вещественных чисел xО R в той же мере, как дискретно-непрерывная структура множества является обобщением непрерывной структуры. Тем самым, каждому обобщенному отношению длины l_i к длине некоторого эталона l_u поставим в соответствие обобщенное число (l_i): (l_il_u)Ю (l_i)О , причем элементы удовлетворяют очевидному условию соответствия: є x при lє r.

Как было показано в главе 2, в рамках традиционных представлений, включающих параметризацию длин множеством вещественных чисел R, свойствами б), в), г) фундаментальной длины (см. раздел 2.1) обладает только нулевая длина r₀є 0Ч r_u (r_u - некоторая выбранная единица длины). Чтобы удовлетворить и свойству а) фундаментальной длины, предположим, что r₀ (нулевая длина) - это чрезмерно грубая идеализация фундаментальной длины, т.е. к действительности ближе актуально нулевая длина l₀, которая, подобно r₀, обладает алгебраическими свойствами нулевого элемента в соответствующем множестве “реальных длин” {l}, и в то же время в отличие от r₀ не лишена свойства протяженности, т.е. количественно l₀ не выражается с помощью классического нуля. Чтобы перейти от множества {r} идеализированных (классических) длин к множеству {l} “реальных” (или обобщенных) длин, включающему актуально нулевой элемент - фундаментальную длину l₀, осуществим следующее переопределение длин: r+l₀« l, т.е. r є l- l₀. Как будет видно из дальнейшего, данное переопределение равносильно тому, что при параметризации множества длин мы будем использовать не множество вещественных чисел, а иное множество - “множество обобщенных чисел”. Проанализируем далее следствия этого простейшего варианта переопределения длин (их своеобразной линейной “перенормировки”).

По смыслу своего определения j _pl(l) является конечной мерой неопределенности (актуальным нулем) множества угловых величин (т.е. числового подмножества множества ), определенного на основе заданного пространственного масштаба l. Значение j _pl(l) определяет конечную поправку к классическим арифметическим вычислениям и геометрическим построениям, осуществимым на данном множестве (т.е. в определенной физической ситуации). Поэтому в качестве наиболее простого (линейного) обобщения вещественного числа x(r_i) можно принять следующее определение:

Чтобы служить определением обобщенной операции деления (), выражение (4.1') нуждается в установлении численного выражения для угловой величины j _pl(l_i), которая соответствует обобщенному отношению дуги классической окружности к ее радиусу:

Данное выражение отвечает известному способу измерения углов с помощью дуг, которые они вырезают на окружности, являющемуся таким же древним, как и само понятие угла. Такой способ измерения был уже известен вавилонянам, от которых к нам перешла единица измерения углов - градус. Как подчеркивается Н.Бурбаки³, “классическое определение меры угла через длину дуги круга является, конечно, не только интуитивным, но и по существу корректным”.

Заметим, что определения (4.2) и (4.1') недостаточны для того, чтобы получить выражение для j _pl(l_i). Для этого нужно воспользоваться выражением для j _min(l_i):

Из (4.3) с учетом j _min(l_i) = 2Ч j _pl(l_i) можно сделать вывод, что

Из выражения (4.4) видно, что: а) при l_i >> l_pl j _pl(l_i) ® 0; б) при l_i ® l_pl j _pl(l_i) ® Ґ ; в) при l_i = l_min j _pl(l_i) = 1. Как следствие (4.4), определение обобщенного числа (4.1') примет вид:

Определение (4.5) удовлетворяет сформулированному требованию перехода в x при lє r, т.е. при условии l_pl:(l- l_pl)є 0.

Универсальным обезразмеривающим масштабом для величины l_i может служить l_min = 2Ч l_pl (но не l_pl, так как физически l_pl не относится ко множеству длин покоя вещественных объектов, и обезразмеривание на l_pl не отвечает какому-либо реальному процессу измерения). Естественно предположить, l_u є l_min (r_u є l_pl). Тогда выражение (4.5) для числа (l) приобретает своеобразную симметричную форму:

Предпочтение, отдаваемое l_min как эталонной величине, определяется не только симметрией выражения, получаемого для числа (l). Тут следует учитывать также то, что l_min является минимальной собственной физической величиной (длиной), которой может обладать вещественный объект, используемый в качестве эталона. Как следствие, l_min обеспечивает по сравнению с иными эталонами (l_u>l_min) предельное минимальное относительное значение j _pl(l) (т.е. условие l_u = l_min минимизирует значение j _pl(l_i) по отношению к x(r_i), где r_i = l_i - l_pl). Традиционное представление о конвенциональности выбора эталона опирается на предположение о реальном существовании сколь угодно малых вещественных (или полевых) объектов, которые можно использовать (хотя бы логически) как эталоны. В противоположность этому взгляду, объективная ограниченность пространственных масштабов вещественных и полевых объектов приводит к выводу о выделенности величины l_min и неправомерности конвенционализма в выборе эталона.

Хотя j _pl(l) является конечной минимальной величиной, тем не менее на его основе не удается непосредственно определить конечное максимальное число j _max(l), так как обратное относительно j _pl(l) число, соответствующее отношению ll_pl стремится к бесконечности, согласно (4.1'). По-видимому, на основе множества длин покоя вещественных объектов следует дать следующее определение максимальному конечному числу:

j _max(l) є ll_min = (l- l_pl):l_pl + j _pl(l) = 1 : j _pl(l) + j _pl(l) ,

что совпадает с определением (4.6) для числа (l) ⁴

Заметим, что в случае l® l_min значения j _max(l) и j _min(l) сближаются и при l = l_min совпадают: j _max (l_min) = 2 = j _min (l_min), т.е. с уменьшением характерного пространственного масштаба l до l_min все множество конечных чисел сводится к одному элементу. Этот процесс можно назвать “онтологическим” вырождением числовых множеств, определяемых на заданных пространственных масштабах. Данное математическое следствие дискретно-непрерывного характера пространства открывает возможность для выделения онтологического смысла соотношений неопределенностей и вероятностного описания в квантовой механике, поскольку при анализе арифметических соотношений величин на малых пространственно-временных масштабах необходимо учитывать “вырождение” имеющихся в нашем распоряжении числовых множеств и нарастание принципиальной неадекватности вещественного числа как средства для выражения количественных характеристик реальности.

Выбор величины l_min в качестве обезразмеривающего параметра приводит к тому, что определение (4.6) для (l) совпадает с полученным выше выражением для максимального конечного числа j _max(l), определенного на основе заданного пространственного масштаба l. Тем самым, ограничивая сверху множество конечных чисел (l) ((l) і (l) О (l)), которые могут быть определены на основе величины l при использовании всевозможных вещественных эталонов l_u і l_min, число (l) является количественной характеристикой (числом) этого множества (l) ⁵. Если перейти к объединению всех частных множеств (l_i), т.е. определить множество всех множеств ((l_i)М ), то можно заметить, что его элементами будут все числа (l_i) (и только они). Объединив (l_i) в одно множество, можно абстрагироваться от их принадлежности к частным числовым множествам (l_i), относящимся к заданным физическим величинам l_i, и исследовать математические свойства как числового множества, отражающего количественные закономерности, связанные со свойствами физической величины l вообще, а не какой-либо ее частной реализации l_i. При этом каждой величине l_i будет соответствовать определенный элемент из ((l_i)О ), играющий роль верхнего предела в подмножестве (l_i). В этом заключается одна из важных особенностей обобщенных чисел О , позволяющая считать их непосредственно связанными с онтологией⁶.

Анализируя смысл обобщенного числа є x_i + (j _pl)_i О , следует различать две ситуации. (Здесь введены обозначения: є (l_i), x_i є x(r_i), (j _pl)_i є j pl(l_i).) Во-первых, элементы числового множества могут применяться для количественного выражения физических свойств материальных объектов, таких как длина, масса, заряд, действие и т.п. В этом случае (j _pl)_i является математическим образом инвариантного количества соответствующей относительной величины. Следует обратить внимание, что эти числовые значения не могут непосредственно количественно характеризовать физические свойства объектов, относящихся к вещественному виду материи. Они скорее характеризуют само по себе качество, свойство, которым вещественный объект обладает в том или ином количестве. Присутствие (j _pl)_i в определении числа _i связано признанием объективного существования инвариантных (планковских) величин, являющихся абсолютными по отношению к миру вещественных объектов. Что касается конкретного численного значения (j _pl)_i, то оно относительно и зависит от описываемого вещественно-полевого феномена. Чем ниже значение (j _pl)_i, тем дальше рассматриваемое явление от фундаментального (планкеонного) уровня, тем выше допустимая абстрактность в описании реальности.

Во-вторых, числовое множество может использоваться для пересчета абсолютного числа (количества экземпляров, штук) объектов. Как известно, результат практического пересчета объектов зависит от того, как мы определим эти объекты, т.е. от того, по какой совокупности признаков мы будем выделять объекты, подлежащие пересчету. Чем конкретнее будет используемое определение объекта, чем полнее информация о нем, тем меньшим окажется число таких объектов (при прочих равных условиях). И наоборот, - чем более абстрактным будет наше представление об объекте, тем большим будет число, соответствующее количеству экземпляров этого объекта (x_i). Можно предположить, что при пересчете объектов числовая величина (j _pl)_i характеризует, насколько конкретно, полно, информативно определен объект в данном процессе пересчета, указывая на относительность результата этой процедуры. Данная интерпретация может иметь ряд интересных следствий. В частности, следует признать, что множество, объединяющее вещественные объекты, которым может быть дано единое содержательное определение, должно быть конечным. Бесконечным может быть лишь множество “объектов вообще”, которое получается в случае использования предельно абстрактного определения, полностью исключающего возможность дифференциации реальных объектов (x_i ® Ґ Ю (j _pl)_i ® 0).

Числа, являясь продуктом абстрагирования, по-видимому, должны содержать в своем определении признаки этого мыслительного процесса. Иными словами, в определении числа могут быть выделены две составляющие. Одна - характеризующая вещественное количество описываемого множества объектов или проявляемого свойства. Эта составляющая известна как вещественное число x_i О R. Другая составляющая определения обобщенного числа - (j _pl)_i выражает меру (степень, уровень) нашего фактического абстрагирования от объективной индивидуальности, определенности пересчитываемых объектов или от природы изучаемых свойств (т.е. от лежащего в их основе фундаментального механизма). Тем самым, (j _pl)_i может рассматриваться как некий показатель относительной информативности наших представлений о математически описываемом природном феномене. Обобщенные числа содержат обе эти противоположные составляющие в единстве, согласно тому как описание реальности включает всегда моменты абсолютности (истинности) и относительности (условности).

Сущность понятия обобщенного числа, выражающего объективные свойства количества, может быть интерпретирована также и на основе диалектики категорий определенности и неопределенности. Численное выражение количества, характеризующего ту или иную сторону реальности, относящейся к миру вещественных объектов, должно учитывать как момент определенности, так и момент неопределенности, которые взаимно отрицают и взаимно полагают, обусловливают друг друга. Причем правильное понимание соотношения определенности и неопределенности, наличествующих в обобщенном числе в единстве, невозможно без представления о реальном количественно-качественном переходе, связанном с объективной ограниченностью области пространственно-временных масштабов, в пределах которой существуют вещественные объекты как специфический вид материи. Абсолютизация его (т.е. “вещественный центризм”) приводит к такой идеализации числа, количества, которая не предполагает наличия неопределенности и сводится тем самым по существу к абсолютной определенности. Таковы представления о количестве, выражаемые на основе вещественных чисел. С точки зрения материалистической диалектики, эти представления выглядят однобокими. Как отмечалось в главе 3, вещественные числа, не имея непустых непересекающихся окрестностей, по существу являются полным отрицанием неопределенности, размытости, нечеткости. Они исключают какие-либо основания для синтеза противоположных характеристик количества, т.е. имеет место отвлечение формы от содержания, лишающее число “вещественной определенности”⁷. Тем самым для отражения объективной взаимосвязи категорий определенности и неопределенности, очевидно, требуются новые общенаучные понятия, и в частности, более адекватное понятие числа, одним из вариантов которого может служить рассматриваемое в настоящей главе обобщенное число⁸.

Как видно из выражения (4.6), новые физические представления приводят к существенному изменению свойств самого числа. Например, в общем случае утрачивается всюду-взаимно-однозначное соответствие между физической величиной l и числом . Каждой величине l_i і l_pl соответствует единственное число (l_i), но обратное неверно, поскольку для любой величины l₁ (l₁>l_min) существует l₂ № l₁ (l_pl<l₂<l_min), такая что (l₁) =(l₂) =* (см. рис. 4.5):

l_1,2 = l_plЧ [1 + : 2 ± (² : 4 - 1)^1/2] .

Благодаря использованию l_min как эталонной величины, для всех вещественных длин (т.е. в области lі l_min, к которой относятся длины покоя вещественных объектов) соблюдается взаимная однозначность l и (l). Иными словами, взаимнооднозначное соответствие между и множеством длин {l_i} обеспечивается, в частности, в случае рассмотрения вещественных объектов в собственной системе отсчета (и только при условии выбора в качестве эталонной величины l₀ = l_min). Тогда длина покоя минимального вещественного объекта l_min ограничивает снизу множество длин, и двузначность числа не проявляется⁹.

Если основываться на характеристике актуального нуля j _pl(l) как меры принципиальной неопределенности множества, то возможна иная интерпретация полученного для (l) определения (4.6). Она заключается в следующей трактовке: каждой длине l>l_pl соответствуют числа из интервала [(l) - j _pl(l), (l)]. На рис. 4.6 эта область заштрихована. Так как при l® l_pl j _pl(l)® (l), то при приближении к планковскому масштабу определенность количественных характеристик постепенно утрачивается. Строгое взаимнооднозначное соответствие между множеством физических величин {l_i} и числовым множеством заменяется специфическим много-многозначным соответствием: величине l соответствует числовой интервал [(l)- j _pl(l), (l)], а числу соответствуют длины lО ] l_pl, l₂] И [ l₁, (1+)Ч l_pl] (см. рис. 4.5, 4.6). Подобную трактовку числа нельзя исключать, но все же полное сведение смысла поправки (j _pl)_i к понятию ограниченной точности (ошибки) количественного выражения характеристик реальности было бы в методологическом отношении чересчур сильным, неоправданным сужением возможного содержания обобщенного числа.

На основе полученного выражения (4.6) можно дать определения арифметических действий на числовом множестве , как обобщений классических арифметических действий на множестве вещественных чисел R. Определим число, соответствующее сумме l₃ величин l₁ и l₂, и выразим его через операции с числами x(r₁), x(r₂) О R :

Учитывая, что сложение длин, относящихся к дискретно-непрерывному множеству, выражается через классические операции с длинами следующим образом (см. раздел 2.1): l₃ є l₁l₂ = l₁ + l₂ - l_pl є r₁ + r₂ + l_pl, можем переписать (4.7):

(l₃) = (l₃ - l_pl) : l_pl + l_pl : (l₃ - l_pl) = (l₁ + l₂ - 2Ч l_pl) : l_pl + l_pl : (l₁ + l₂ - 2Ч l_pl) =

 є = - (j _pl)₁ + - (j _pl)₂ + 1 : ( - (j _pl)₁ + - (j _pl)₂) = x₁ + x₂ + 1 : (x₁ + x₂),

Здесь вновь использованы обозначения: є (l_i), (j _pl)_i є j pl(l_i), x_i є x(r_i).

Аналогично определяется операция вычитания () на :

Обобщая операции r₁Ч x₂ = r₃ и r₁ : x₂ = r₃, получим:

Равенства (4.8) - (4.8ў ў ў ) определяют арифметику на множестве с минимальным элементом (l_min) є = 2¹¹. Нетрудно убедиться в том, что число играет для роль единицы: = , = ¹². Своеобразие арифметических свойств проявляется, в частности, в том, что взаимно обратные числа: и не отличаются друг от друга. Поэтому логично заключить, что в невозможно указать элемент , противоположный для № , т.е. № . Физически это означает, что операция деления имеет смысл только в том случае, если делитель соответствует меньшей физической величине, чем делимое (или делимое и делитель совпадают). Тогда операция лишена смысла при № , и в общем случае операция лишена смысла при >. Заметим, что аналогичное ограничение существует и для операции вычитания: при > выражение лишено смысла, т.е. ему не соответствует какой-либо элемент . Из сказанного следует, что, определяя алгебраические свойства , невозможно идти путем постулирования существования для любого О “обратного” (или “противоположного”) элемента по отношению к определенным на операциям умножения () и сложения (). Тем самым, операции деления () и вычитания () должны обладать на большей “самостоятельностью”, чем на R, где их можно полностью свести к операциям умножения и сложения, подставив вместо x_i противоположный ему элемент из R (существование которого закладывается на уровне аксиом). Аксиома существования в R для x_i обратного элемента приводит к отсутствию физических ограничений на величину делимого и делителя (уменьшаемого и вычитаемого), т.е. к значительной абстрагированности от физического содержания соответствующих операций. Приведенное выше условие і для операций и на физически можно рассматривать как условие, связанное с обратимостью процессов во времени. Действительно, операции и можно рассматривать как отображение реальных процессов, обратных во времени по отношению к процессам, отображаемым операциями и , поэтому операция деления на (и вычитания из ) является “возвращением” к исходному числу , которое было до этого умножено на (или сложено с ). В силу определения обобщенного числа, произведение и сумма любых двух элементов не может быть меньше этих элементов, т.е. > (или і ).

Можно заметить, что задание обобщенного числа є x+1:x не определяет однозначно соответствующее вещественное число x, поскольку мы можем считать либо

X = x₁ = ( + (² - ()²)^1/2) : і 1, либо

X = x₂ = ( - (² - ()²)^1/2) : = 1 : x₁ Ј 1.

Поэтому общий вид определений арифметических действий (4.8) - (4.8ў ў ў ) требует уточнения¹³. Например, результат сложения = на основе (4.8) дает четыре различных варианта: 1) = x₁ + y₁ + 1 : (x₁ + y₁), 2) = x₂ + y₂ + 1 : (x₂ + y₂), 3) = x₁ + y₂ + 1 : (x₁ + y₂), 4) = x₂ + y₁ + 1 : (x₂ + y₁). Нетрудно убедиться, что из них лишь первый вариант обеспечивает предельный переход к классическому сложению, если пренебречь величиной актуального нуля, положив >>. Пользуясь данным критерием, можно получать однозначные результаты арифметических действий (4.8) - (4.8ў ў ў )¹⁴. Кроме того, выразив x₁, x₂ через , мы имеем возможность выполнять арифметические действия на без обязательного сопоставления результатов с классическими (т.е. автономно). Например, операцию сложения (4.8) можно определить в следующей форме:

где a² є (x₁ + y₁) Ч (x₂ + y₂) =+.

Можно заметить, что выражение (4.9) совпадает по форме с операцией сложения на множестве с минимальным элементом a ¹⁵, определенной по аналогии с релятивистским правилом сложения скоростей. Однако в отличие от случая, рассмотренного В.В.Коруховым, здесь число a не носит характера универсального минимума, - лишь в частном случае = получаем a=.

Определим число , инвариантное по отношению к арифметическим действиям, определенным на множестве :

 є () є + 1 : ,

где - инвариантная величина (для множества длин это, очевидно, l_pl). Вещественное число x_inv соответствует величине є - l_pl (“нулевой” длине), т.е. є : r_u = 0. Тогда получаем: є 0 + 1:0.

По отношению к арифметическим действиям на R наряду с = 0 инвариантностью обладает также = Ґ (хотя формально П R). Инвариантность нуля и бесконечности понимается в том смысле, что эти числа в отличие от конечных (“относительных”) чисел, принадлежащих R, не удовлетворяют аксиоме Архимеда, т.е. не могут быть изменены в результате сложения (умножения) или деления. Иными словами, рассматриваемые как целое, они оказываются состоящими из частей, каждая из которых равна этому целому; рассматриваемые как части, они равны образуемому ими целому. В этом - качественное отличие нуля и бесконечности от конечных чисел, результат арифметических операций с которыми относителен. Указанные абсолютные арифметические свойства, приписываемые нулю и бесконечности, проявляются как инвариантность характеризуемых ими физических (и прочих) величин по отношению ко всевозможным преобразованиям (воздействиям).

Если определить число через = Ґ как:

є + 1 : = Ґ + 1 : Ґ ,

то можно отметить, что инвариантные числа и , по-видимому, следует считать одним и тем же обобщенным числом: є О . Это определение предполагает 1 : Ґ є 0 и 1:0 є Ґ , что в рамках R может приводить к противоречиям с аксиомами множества действительных чисел¹⁶. Однако в данном случае это не будет иметь решающего значения, если тождество є окажется непротиворечивым по отношению к числовому множеству , система арифметических аксиом на котором может отличаться от системы аксиом на R. Тем самым вместо двух разных инвариантных чисел, имеющих место в отношении операций на множестве вещественных чисел R, мы придем к ситуации, когда новое числовое множество характеризуется единственным инвариантом , сочетающим характерные арифметические (алгебраические) свойства = 0 и = Ґ .

Сопоставим арифметические свойства инвариантов множеств R и (здесь xО R, x № , x № , О ):

Поскольку на R операции с бесконечностью, как и деление на нуль, строго говоря, не определены, то вместо знака равенства здесь использован символ ® , обозначающий условность приводимого результата. Видно, что в случае умножения (4.10) и деления (4.10ў ) новое инвариантное число объединяет свойства обоих чисел и . В случае сложения и вычитания (4.10ў ў ) формальное обобщение результатов операций с и также имеет место, но получаемый результат неоднозначен, он допускает два варианта ответа. Иными словами, сложение с не коммутативно. Подобно арифметическим действиям с трансфинитными числами¹⁷, результат здесь формально зависит от порядка записи слагаемых. Чтобы показать это, будем использовать в качестве определения равенство =. Прибавляя к обеим сторонам этого равенства слева одно и то же число , согласно (4.8), (4.8ў ) получим:

= є ()=.

= є () = .

Очевидно, операции с не следует пытаться выражать через арифметические действия на R по формулам (4.8) - (4.8ў ў ў ). Их необходимо принять в качестве определений (4.10)-(4.10ў ў ).

Полученный формальный результат № может быть связан с учетом дополнительных условий онтологического происхождения, налагаемых на структуру числового множества , которые могут выражаться, например, в специфике определения порядка на . Идеи о том, что обычные аксиомы порядка могут нарушаться на малых пространственных масштабах, высказывались ранее неоднократно¹⁸. В отличие от этих работ, здесь не предполагается статистической природы понятий пространства и времени в макроскопических масштабах. Фактически, на философском языке, здесь речь идет о категории условий. Вне категории условий нельзя понять ни свойство некоммутативности, ни саму природу множества обобщенных чисел.

Заметим, что введение позволяет устранить имеющую место для R некоторую логическую непоследовательность, связанную с тем, что одно из инвариантных чисел не является элементом R ( = Ґ П R), а второе включается в R ( = 0 О R), хотя оно качественно отличается от всех остальных элементов множества вещественных чисел. В частности, нуль не удовлетворяет аксиоме Архимеда, поскольку результат суммирования любого конечного числа нулей не превышает произвольного наперед заданного положительного числа из R. Что же касается числа О , то подобная непоследовательность построения числового множества отсутствует.

Уже сама по себе возможность устранения проблем множества вещественных чисел (связанных с нулем и бесконечностью), которая обеспечивается обобщением континуальных и дискретных представлений, свидетельствует о математической конструктивности перехода к . В методологическом и формально-логическом отношении переход от двух различных инвариантов, имеющих место для множества R, к единственному числовому инварианту, соответствующему определенной физической величине, представляется важным позитивным шагом. По существу, этим закладываются предпосылки для разработки математического аппарата, который был бы адекватен при использовании его в будущей релятивистской квантово-гравитационной теории, призванной дать единое описание структурных уровней реальности от планковских масштабов до размеров Вселенной. Предпосылку для выполнения новой математикой подобной роли можно усмотреть уже в том, что “размер” бесконечной Вселенной и планковская длина получают одно численное выражение , которое условно можно представить в виде:

є +.

Тем самым, новое числовое множество позволяет перейти к теоретическому описанию всей физической реальности как единого взаимосвязанного и замкнутого целого.

Если вслед за Дж.Глетшоу считать, что в древнем символе мира - Уроборосе - змее, поглощающей свой хвост, заключен глубокий физический смысл (см. главу 1), то сразу ощущается неадекватность существующего математического формализма. Двигаясь по “телу змеи” в направлении “головы” (т.е. сдвигаясь по шкале длин в сторону больших величин), мы в пределе должны достигнуть того же результата, к которому мы бы пришли, двигаясь в сторону “хвоста” (т.е. в область длин микромира)¹⁹. С точки зрения параметризации множества физических длин с помощью чисел из R подобное совпадение результатов исключено. Абсолютизация применимости множества вещественных чисел ведет к отказу от подобных целостных моделей мира. Но если справедливо расценивать аксиомы множества вещественных чисел лишь как идеализации определенного уровня, то нет причин для априорного утверждения каких-либо ограничений в разработке новых математических средств, более адекватных реальности. Множество обобщенных чисел наглядно реализует аспект единства реальных противоположностей: физические результаты увеличения и уменьшения длины l_i = l_min могут выражаться одним и тем же числом  ²⁰. Единое математическое выражение асимптотических пределов вариации длин () оказывается в рамках универсальным и абсолютным (не зависящим от исходной варьируемой величины l_i ). Подобная возможность делает модель Вселенной в целом симметричной в отношении “большого” и “малого”, макро- и микроструктур. Такой вариант “Мира в целом” естественно назвать “Микро-Макро-Симметричной Вселенной”²¹. В этом варианте модели Вселенной осуществляется дальнейшая релятивизация наших понятий “макро” и “микро”. Можно сказать, что реализует точку зрения Николая Кузанского, согласно которой абсолютный минимум тождествен абсолютному максимуму²².

В отличие от , множество вещественных чисел фиксирует лишь момент неравенства величин, идея взаимоперехода между наибольшим и наименьшим никогда не сможет найти своего выражения и обоснования в рамках R. Конечно, на современном уровне возможностей эксперимента и наблюдения предпочтение, отдаваемое множеству , можно расценить и как чрезмерную научную уверенность. Однако, выражаясь словами С.Вайнберга, наука не всегда развивается наилучшим образом, если оставаться полностью непредубежденным. “Часто необходимо забыть чьи-то сомнения и следовать за выводами из каких-то предположений, куда бы они ни привели, - великое искусство не в том, чтобы быть свободным от теоретических предубеждений, а в том, чтобы иметь правильные теоретические предубеждения. И, как всегда, проверка любой предварительной теоретической концепции - в том, к чему она приводит”²³.

Пути формирования теоретических знаний в современной физике во многом отличны от классических образцов. “Главное отличие состоит в том, что построение современных теорий начинается с поисков математического аппарата, эмпирическая конкретизация которого, по крайней мере во многих частях, вначале неизвестна. Эта интерпретация формируется позднее, уже после введения основных уравнений теории”²⁴. Подобная методологическая установка была характерна и для П.Дирака при введении им динамических переменных, удовлетворяющих некоммутативной алгебре. Дирак назвал их q-числами, в отличие от обыкновенных математических (т.е. вещественных) чисел. “Ранние работы с q-числами состояли просто в алгебраических преобразованиях, использующих заданную некоммутативную алгебру, и, конечно, интерпретация результатов таких действий оставалась неясной. Об интерпретации приходилось лишь догадываться, используя простые примеры. Отыскивали определенную интерпретацию, дающую правильный ответ, и эту интерпретацию обобщали и надстраивали в соответствующем направлении”²⁵. Вначале q-числа казались Дираку “чем-то таинственным”. И лишь когда со временем “стало ясно, что q-числа всегда можно представлять в виде матриц, в их математической природе не осталось, конечно, ничего таинственного”²⁶. Возможно, обобщенные числа тоже потребуют большой работы по установлению их физической интерпретации и математической природы. Предварительный анализ, представленный в настоящей главе, показывает, что от данного направления работы можно ожидать принципиально новых важных результатов²⁷.

В заключение отметим, что в методологическом отношении приведенные в настоящей главе результаты принадлежат общенаучному уровню. Не настаивая на полной адекватности и непосредственной применимости наших построений к реальному микромиру, можно отметить, что результаты этого рассмотрения могут иметь определенную методологическую ценность для изучения объективных геометрических и физических закономерностей на ультрамалых пространственно-временных масштабах²⁸.

Упорядочение событий предполагает возможным приписать каждому элементарному пространственно-временному событию определенные числа - координаты этого события, результатом чего является арифметизация пространства-времени. Причем принятое условие выбора среди возможных систем арифметизации предполагает, что соседние точки пространственно-временного многообразия должны отмечаться соседними числами. Тогда эти числа будут образовывать множество, свойства которого отвечают структуре пространства-времени. Простейшим примером множества, отображающего структуру дискретно-непрерывного многообразия, служит рассмотренное нами выше множество обобщенных чисел . Поскольку было определено, исходя из физических представлений об объективной структуре пространства-времени, то способ арифметизации, осуществляемой с помощью , может оказаться предпочтительным, обладающим универсальностью и “способностью выявить наиболее общие закономерности во взаимоотношении событий”^{29, 30}.

Использование предложенных в настоящей главе представлений предопределяет наиболее простой вариант (линейного) обобщения римановой геометрии пространства-времени (особенностью которой является псевдоевклидовость в бесконечно малом) с учетом существования конечных инвариантных значений длин и временных интервалов. Отметим, что по отношению к обобщенной геометрии псевдоевклидова является “двойной” идеализацией, поскольку предполагает пренебрежение не только возможной искривленностью пространства-времени, но и ограниченностью снизу спектра допустимых масштабов.

1 Шарыпов О.В. Проблема метризуемости и математические концепции пространства и времени. - Новосибирск, изд-е ИФиПр СО РАН, 1996.

2 Если в (4.1’) под l_i подразумевать длины вещественных объектов в собственной инерциальной системе отсчета, то, по-видимому, определение (4.1’) даст множество чисел {(l_i)}, соответствующих классическому натуральному числовому ряду N (в силу сформулированных в главе 2 представлений о строении вещественных объектов), т.е. (l_i) - j _pl(l_i) є nО N М R. Расширение совокупности длин, подразумеваемых под l_i, т.е. включение размеров объектов, наблюдаемых в другой инерциальной системе отсчета, приведет к тому, что выражением (4.1’) будет определяться множество чисел {(l_i)}, соответствующее подмножеству рациональных чисел Q множества R (т.е. (l_i) - j _pl(l_i) є qО QМ R). Можно сказать, что множество {(l_i)}, определенное согласно (4.1’), содержит и элементы, соответствующие иррациональным вещественным числам, но с той особенностью, что эти элементы содержатся в {(l_i)} потенциально - в ситуации, которая реализуется, если принять в рассмотрение объект с длиной l_i, такой, что (l_i - l_pl) : (l_u - l_pl) ® Ґ . Приведенная классификация подмножеств множества {(l_i)} позволяет говорить о возможности выделения онтологических оснований для традиционной дифференциации множеств натуральных, рациональных и иррациональных чисел.

3 Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Изд-во Иностранной Литературы, 1963. - С. 165.

4 Тот результат, что число (l), определяемое соотношением заданного физического масштаба l и единицы длины l_u є l_min, связанной с фундаментальной длиной l_pl, является в указанном смысле максимальным из всей совокупности чисел {(l_j)} которые можно определить с помощью длины l или ее составных частей l_jЈ l, позволяет рассматривать число (l) как число множества {(l_j)}.

5 Указанное свойство (l) соответствует традиционному подходу к определению числа: “То или другое количество есть множество, если его можно счесть, это - величина, если его можно измерить. Множеством при этом называется то, что в возможности (потенциально) делится на части... Из (всех) этих количеств ограниченное пределом множество есть число...” (Аристотель. Метафизика, Кн. 5. - М.: Соцэкгиз, 1934. - С. 93.).

6 В данном случае речь идет об определении числа на основе свойств определенной физической величины - длины. В современной физике все величины принято параметризовать множеством вещественных чисел (хотя наличие предельной скорости и кванта действия уже принципиально ограничивает эту возможность). В истории науки известны примеры теорий, в которых длины, площади, объемы и т.д. математически рассматривались отдельно, т.е. теория величин не всегда строилась аксиоматически, сразу для всех видов величин (Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Изд-во Иностранной Литературы, 1963. - С. 148.). Существует надежда на то, что, определенные на основе длин, обобщенные числа все же окажутся применимы и для параметризации множеств всех других физических величин, тем более, что, согласно h cG-принципу, лежащему в основе наших представлений о фундаментальной длине, ограниченными являются множества всех без исключения физических величин. В этом отношении предлагаемый здесь подход является лишь одним из возможных и наиболее “очевидных” способов определения . В истории науки исследователи неоднократно обращались именно к геометрическому определению числа в моменты принципиальных открытий, когда возникала необходимость “сверить” абстрактные логические построения с новым онтологическим содержанием понятий (Там же. - С. 151-152.).

7 Зак С.Е. Качественные изменения и структура // Вопросы философии. - 1967. - № 1. - С. 50-58.

8 В понимании классиков философии, обосновавших в свое время научное понимание этой категории, количество есть объективная определенность качественно однородных явлений, составляющих неотъемлемые части данного целого, которые выражаются числом (Агудов В.В. Качество, количество, структура // Вопросы философии. - 1967. - № 1. - С. 59-68.). В этом определении неявно подразумевается априорное существование качественно однородных феноменов. Поэтому данное определение закономерно ведет к понятию вещественного числа, оставляющего “за скобкой” проблему выбора “качественно однородных объектов” из объективно данной совокупности. Обобщенные числа, по всей видимости, заполняют этот пробел в количественном выражении реальности.

9 По-видимому, двузначность может проявляться только при условии относительного движения объектов в дискретно-непрерывном пространстве-времени, при котором возникает релятивистский эффект сокращения длины, и соответственно множество длин оказывается ограниченным снизу лишь величиной l_pl, но не l_min. В этом случае формально получается, (j _pl)_i>1 что можно рассматривать как ситуацию информационной “переопределенности” события. Во всяком случае, применение чисел , в которых (j _pl)_i>1 требует осторожности и дополнительного изучения. Подобные измерения могут оказаться физически нереализуемыми, поскольку в распоряжении вещественного наблюдателя нет масштабов l<l_min. Тогда расчеты с использованием (j _pl)_i>1 могут оказаться физически бессмысленными. Однако возможно, что эти числа имеют определенный смысл, который пока недоступен нашему пониманию.

10 “До XIX в. ученые, по-видимому, не пытались определить сложение и умножение натуральных чисел иначе, чем путем прямого обращения к интуиции: только Лейбниц, верный своим принципам, настойчиво утверждает, что столь “очевидные истины”, как 2 + 2 = 4, не менее нуждаются в доказательствах, если поразмыслить об определениях чисел, которые туда входят; он не считал, что коммутативность сложения и умножения является само собой разумеющимся свойством.” (Бурбаки Н. Очерки по истории математики. - М.: Изд-во Иностранной Литературы, 1963. - С. 36.).

11 Этим выражается момент дискретности множества . Однако его нельзя рассматривать как не содержащее момента непрерывности. Обычным критерием для разграничения этих свойств служит возможность бесконечной делимости конечных элементов множества, т.е. выполнение аксиомы Архимеда (если даны два отрезка, то всегда существует кратное меньшего отрезка, которое больше большего отрезка), которая совместно с аксиомой полноты образует группу аксиом непрерывности. Первая аксиома дает возможность сопоставить каждому отрезку некоторое число, характеризующее длину этого отрезка, а вторая - позволяет для любого числа установить существование отрезка, длина которого измеряется этим числом. Тем самым устанавливается изоморфное соответствие между полем вещественных чисел и точками пространства (Андреев Э.П. Геометрические идеи в физике XX в. / Пространство и время в современной физике. - Киев: Наукова думка, 1968. - С. 203-211.). Как показал Д. Гильберт, эта группа аксиом независима от остальных компонентов аксиоматики (Панченко А.И. Континуум и физика. - М.: Наука, 1975. - С. 103.). Это значит, что можно построить теории, для которых аксиома Архимеда не выполняется, причем такие теории не отвергают теоретико-множественную непрерывность. Объектами изучения таких математических теорий являются неархимедовы континуумы, допускающие существование актуально бесконечно малых величин (Там же. - С. 104.). В случае можно заметить, что деление любого неинвариантного элемента бесконечно, но не беспредельно. Как процесс деление может быть потенциально бесконечным, т.е. для любого > найдется такое число >, деление на которое не будет запрещено (т.е. >) и результат деления будет меньше (>>). В то же время результат сколь угодно много повторенного деления имеет определенный предел - актуально существующую величину (і ).

12 Если формально обозначить используемую в некоторых теориях конечную “обрывающую” длину через r_c є x_cЧ r_u (r_c>r₀ є 0Ч r_u), то ей будет соответствовать элемент множества обобщенных длин l_c « r_c + l_pl. Последнее выражение означает, что “обрывающая” длина l_c не может совпадать с фундаментальной длиной l_pl. В то же время l_c должна определяться на основе l_pl, ибо никакого другого универсального масштаба протяженности в нашем распоряжении нет. Заметим, что без предпринятого переопределения множества длин, т.е. в рамках множества {r} r_c не может быть связана с инвариантной (нулевой) длиной r₀. Тем самым приходится либо считать “обрывающую” длину r_c совершенно самостоятельной особой величиной, наряду с r₀, либо рассматривать r_c как фундаментальную длину. Первое приводит к неоправданной избыточности представлений, так как вместо одной выделенной длины вводит две несвязанные величины. Второе приводит к тому, что длина r_c, будучи одновременно “обрывающей” и фундаментальной длиной, должна и принадлежать и не принадлежать множеству длин, характеризующих мир вещественно-полевых объектов. Как “обрывающая” длина, r_c обозначает минимальный размер вещественных объектов и минимальную длину волны излучения. В то же время ее абсолютная качественная выделенность как фундаментальной длины обусловливает качественную особенность характеризуемого ею объекта, его отличие от всех вещественно-полевых образований. В результате перехода к обобщенным длинам l эти противоречия снимаются: выбирая в качестве “обрывающей” длины величину l_min (l_c є l_min Ю r_c є l_pl), мы получаем возможность, во-первых, математически описывать ее минимальным и единичным элементом числового множества (что наилучшим образом отвечает смыслу “обрывающей” длины), а во-вторых, рассматривать “обрывающую” длину как величину, непосредственно связанную с фундаментальной длиной l_pl.

13 Заметим, что поскольку порядок на множестве нами в общем случае не определен, то выражения вида і можно понимать в узком смысле, т.е. как x₁ і y₁.

14 Как отмечал В. Гейзенберг, “…высказывания о явлениях могут быть выражены посредством связи между символами. Связь между символами, не согласованная с определенными правилами, не только ложна, но и вообще не имеет никакого смысла.” (Гейзенберг В. Физика и философия. - М.: Изд-во Иностранной Литературы, 1963. - С. 60.). Это общее замечание В. Гейзенберга, по-видимому, может иметь непосредственное отношение к данному случаю.

15 Корухов В.В. Новая модель арифметики с минимальным числом и тахионная теория относительности / Физика в конце столетия: теория и методология. - Новосибирск, изд-е ИФиПр СО РАН, 1994. - С. 42-45.

16 В арифметике, определенной на множестве действительных чисел, операция деления на нуль находится под запретом. Этот запрет обусловлен тем, что принятие того или иного варианта определения этой операции приводит к логическим противоречиям следующего содержания. Для определения числа x = x_i:, x_i О R существует в общем случае три варианта: 1) x =, x П R, 2) x =, xО R, 3) x№ , xО R. Первый вариант приводит к тому, что результат операции с элементами R не принадлежит R, что противоречит алгебраическому определению R как поля (Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов (13-е изд-е, испр.). - М.: Наука, 1986. - С. 143.). Второй вариант неприемлем, поскольку дает Ч = x_i, где x_i - любой из элементов R, в нарушение аксиомы умножения, согласно которой, для любых чисел x_j, x_i О R определено единственное число x_jЧ x_i О R, называемое произведением чисел x_j и x_i (Там же. - С. 210.). Третий случай предполагает, что результат деления на нуль есть некоторое конечное число из R. Это приводит к нарушению аксиом порядка, выражающееся, в частности, неравенством 1 < 0. Тогда, как и в первых двух случаях, R не может характеризоваться алгебраической структурой поля. Заметим, что разрешить логические трудности не удается и путем включения в R числа = Ґ , так как тем самым будут нарушены аксиомы порядка (Там же. - С. 211.), например, для любых x_l, x_m, x_n О R таких, что x_l < x_m, не будет справедливо соотношение x_l + x_n < x_m + x_n (при x_n =).

17 Кантор Г. Труды по теории множеств. - М. : Наука, 1985.; Корухов В.В., Шарыпов О.В. Об онтологическом аспекте бесконечного // Философия науки. - 1996. - № 1 (2). - С. 27-51.

18 Coish H.R. Elementary Particles in a Finite World Geometry // Physical Review. - 1959. - Vol. 114, Part 1. - P. 383.; Shapiro I.S. Weak Interactions in the Theory of Elementary Particles with Finite Space // Nuclear Physics. - 1960. - Vol. 21. - P. 474.; Zimmermann E.J. The Macroscopic Nature of Space-Time // American Journal of Physics. - 1962. - Vol. 30, № 2. - P. 97.

19 Подобные качественные эффекты встречаются в проективной геометрии (однако они не несут того количественного содержания, как множество обобщенных чисел). “В абстракции проективного пространства понятия прямой, плоскости и т.д. по своему содержанию значительно отличаются от привычных представлений элементарной геометрии. Проективная прямая, например, является замкнутой линией. Если на обыкновенной прямой взять две точки A и B, то от A можно прийти к B, двигаясь только в одном определенном направлении; а на проективной прямой можно от точки A пройти к точке B, двигаясь также и в направлении противоположном. Конечно, представить себе, как выглядит такая замкнутая прямая, довольно трудно. “Правильный путь для уяснения этих понятий заключается не в том, чтобы попытаться непосредственно представить себе замкнутую прямую линию, а в усвоении того факта, что проективная прямая ведет себя так, как если бы она была замкнута.” (Юнг Дж. Проективная геометрия. - М., 1949. - C. 21.). Проективная плоскость тоже оказывается, в отличие от обыкновенной плоскости, замкнутой, ибо замкнута любая лежащая в ней прямая.” (Кузанский Николай. Сочинения, Т. 1. - М., 1979. - С. 273-274.).

20 По-видимому, выражения арифметических действий на множестве обобщенных чисел и их определения, приведенные в настоящей главе, начиная с выражения (4.1), следует расценивать как наиболее простое - линейное обобщение свойств вещественных чисел, т.е. как первый член разложения по малому параметру более сложной зависимости.

21 Марков М.А. Размышляя о физике… - М.: Наука, 1988. - С. 160.

22 “Максимумом я называю то, больше чего ничего не может быть. Но такое преизобилие свойственно единому. Поэтому максимальность совпадает с единством, которое и есть бытие.” (Кузанский Николай. Сочинения, Т. 1. - М., 1979. - С. 51.). Ему ничего не противоположно, и такой максимум абсолютен: “Абсолютный максимум есть то единое, которое есть все; в нем все, поскольку он максимум: а поскольку ему ничто не противоположно, с ним совпадает и минимум. Тем самым он пребывает во всем; в качестве абсолюта он есть актуально все возможное бытие и не определяется ничем вещественным, тогда как от него - все.” (Там же. - С. 51-52.). ...Максимум (и минимум) не существует вне множества и вне конкретности, от которых их отделить нельзя. Они - всеобщие пределы (Разумовский О.С. Экстремальные закономерности. Категории наибольшего и наименьшего. - Новосибирск: Наука, 1988. - С. 17.).

23 Вайнберг С. Первые три минуты. Современный взгляд на происхождение Вселенной. - М.: Энергоиздат, 1981. - С. 113-114.

24 Степин В.С. Методология построения физической теории // Вопросы философии. - 1974. - № 12. - С. 79-89.

25 Дирак П. Развитие физических представлений о Природе / В кн.: П. А. М. Дирак. Воспоминания о необычайной эпохе. / Под ред. Я.А.Смородинского. - М.: Наука, 1990. - С. 66-81. (Пер. с англ.: Dirac P. Development of the Physicist’s Conception of Nature / Ed. by J.Mehra. - Dordrecht, Holland: D.Reidel, 1973. - P. 1-14.).

26 Там же. - С. 71.

27 Стало привычным, что передовые теории (в том числе физические), связанные с переходом на новый качественный уровень знания, находят для себя готовый адекватный математический аппарат из числа уже существующих математических конструкций. Примером могут служить и теория относительности, и квантовая механика, и другие новейшие теории. Во всех известных случаях математическая “игра чистого разума” с абстракциями форм и количественными отношениями опережала открытие их физического содержания. В ситуации с построением единой теории это не так. Физика уже не только непосредственно стимулирует и направляет развитие существующих отраслей математики, но и указывает на актуальность совершенно не разработанных, как бы не замеченных математикой областей. Неудивительно, что алгебра и геометрия на множестве с актуальным нулем не изучались математиками даже на аксиоматическом уровне. Причина может заключаться, во-первых, в том, что на самом деле развитие математики настолько тесно связано с представлениями о реальности, что выйти за рамки классических противоположных понятий континуальности и дискретности ей было не под силу, несмотря на всю ее кажущуюся свободу. Во-вторых, развитие подобного направления математики изначально находилось бы в конфликте с господствующими законами логики, и потребовались бы весьма веские объективные стимулы для сознательного движения наперекор традициям.

28 В качестве одного из возможных примеров ситуации, требующей применения свойств обобщенных чисел, можно привести следующую “апорию” неклассической физики. “…В современных уравнениях тяготения предполагается, что плотность энергии вакуума равна нулю. Если бы она не равнялась нулю, в этих уравнениях появилось бы дополнительное слагаемое - “космологический член” - с коэффициентом, который называется космологической постоянной. Анализ распределения масс во Вселенной показал, что космологическая постоянная либо равна нулю, либо неизмеримо мала, и следовательно, мала также и плотность энергии вакуума. Между тем в вакууме происходят нулевые колебания всех возможных полей. Энергия этих колебаний не только не мала, но обращается в бесконечность.” (Мигдал А.Б. Физика и философия // Вопросы философии. - 1990. - № 1. - С. 5-32.).

29 Блохинцев Д.И. Пространство и время в микромире. - М.: Наука, 1982. - С. 19.

30 Заметим, что соседние числа и из отвечают соответственно длинам l_1,1, l_1,2 и l_2,1, l_2,2. Причем в традиционном смысле (основанном на параметризации множества длин с помощью вещественных чисел x_iО R) можно сказать, что l_1,1>l_min, l_2,1>l_min , но l_1,2<l_min и l_2,2<l_min. Т.е. величины l_1,1 и l_2,1 являются в традиционном смысле близкими, как и величины l_1,2 и l_2,2, чего нельзя сказать о величинах l_1,1 и l_2,2 (как и о величинах l_1,2 и l_2,1). Тем не менее приведенное условие выбора системы арифметизации выполнено, поскольку “близость” физических величин (пространственных длин или временных длительностей) предполагает и “близость” соответствующих им обобщенных чисел. Однако эту “близость” следует понимать не в традиционном смысле, поскольку разность двух чисел при стремлении друг к другу их физических прообразов ведет себя немонотонно: сначала приближается к , а затем удаляется от него, стремясь к .

Сайт создан в системе uCoz