Как известно, структура линейного континуума Кантора характеризует класс всех вещественных чисел, расположенных в порядке возрастания их величин. Тем самым континуум непосредственно входит в определение метрических евклидовых точечных множеств, для которых справедливо следующее¹:

1) существует взаимно однозначное соответствие между точками n-мерного евклидова пространства Eⁿ и некоторой действительной системой координат (x₁, ..., x_n);

2) если точки x, y имеют координаты x_i, y_i, то существует действительная функция d(x, y), называемая их (евклидовым) расстоянием, которая выражается формулой

Конечный интервал на прямой линии представляет собой (упорядоченное) множество всех вещественных точек между двумя фиксированными точками, а иногда и включая одну или обе из них, которые именуются конечными точками интервала. Поскольку точки, составляющие интервал, удовлетворяют отмеченному выше в определении метрики условию 1), имеется возможность определить расстояние между фиксированными конечными точками данного интервала. Число, выражающее это расстояние, является длиной точечного множества, составляющего этот интервал. Пусть a и b обозначают соответственно точки a и b или соответствующие им вещественные числовые координаты в зависимости от ситуации. Тогда мы определяем длину конечного интервала (a, b) как положительную величину b–a безотносительно к тому, является ли интервал {x} замкнутым (aЈ xЈ b), открытым (a<x<b) или полуоткрытым (a<xЈ b или aЈ x<b). (Понятно, что символы < и = имеют здесь чисто порядковое значение.) Следовательно, в смысле теории множеств прибавление одной точки к открытому интервалу (или к полуоткрытому интервалу с его открытого конца) вообще не оказывает никакого влияния на длину получающегося в результате этой операции интервала по сравнению с длиной первоначального интервала. В предельном случае a=b интервал называется “вырожденным”, и здесь замкнутый интервал сводится к множеству, которое состоит из одной точки x=a, тогда как каждый из других трех интервалов является пустым. Отсюда следует, что длина вырожденного интервала равна нулю. В вольном изложении, единственная точка имеет длину, равную 0.

В силу установленной в теории множеств эквивалентности множеств всех вещественных точек между любыми двумя фиксированными точками на числовой оси мощность интервала не зависит от его длины. В свою очередь, наличие положительной протяженности какого-либо интервала не определяется мощностью соответствующего точечного множества, но зависит от структурного расположения его элементов. Линию, в смысле Кантора, следует считать уже (актуально) разделенной на бесконечное число элементов. Разделение интервала означает образование непустых точечных подмножеств. Положительный интервал бесконечно делим в том смысле, что допускает выделение по крайней мере одной счетной бесконечности положительных неперекрывающихся интервалов. Поскольку вырожденный интервал не имеет никакого собственного непустого подмножества, этот уникальный интервал является неделимым.

Отметим то обстоятельство, что, согласно доказательству Кантора, результатом разделения интервала положительной длины на несчетное число неперекрывающихся подынтервалов может быть только вырожденный интервал. Тем самым вырожденный интервал оказывается в качественно выделенном положении: только он может выступать элементом при образовании конечного интервала из сверхсчетного числа непустых неперекрывающихся подынтервалов. Неудивительно, что подобная качественная выделенность сопровождается особенностями в определении “суммирования” этих объектов. В данном случае мы не можем содержательным образом определить “суммарную” длину несчетного множества вырожденных интервалов через традиционное “складывание” индивидуальных нулевых длин. Сложение здесь “возможно только в смысле теории множеств (т.е. образования соединения вырожденных подынтервалов) и невозможно сложение (их длин) в арифметическом смысле”². Таким образом, условием метрической непротиворечивости в теории множеств выступает несчетность. С учетом этого можно заключить, что апория Зенона аннулируется в формальном отношении геометрией, построенной на фундаментальных идеях Кантора.

Основные понятия теории множеств и логика доказательства метрической непротиворечивости геометрии, основанной на этих понятиях, свидетельствуют, что геометрическая теория в рамках ее правил сложения длин может непротиворечивым образом одновременно утверждать следующие четыре положения³:

1) конечный интервал (a, b) является соединением континуума вырожденных подынтервалов;

3) длина интервала (a, b) выражается числом b–a;

В качестве критики изложенного решения метрической апории Зенона заметим, что теория Кантора обеспечивает непротиворечивость континуальных представлений только ценой неясности, сопутствующей понятию “суммы” сверхсчетной бесконечности чисел⁴. Однако это замечание скорее носит характер конкретно-научной дискуссии и не влияет на оценку формально-логической стороны рассуждений. Несмотря на неясность понятия суммирования элементов несчетного множества, следует признать логическую строгость и непротиворечивость данной математической теории, не оставляющей почвы для метрических парадоксов в духе апории протяженности Зенона. Важно лишь иметь в виду, что решение изложенной апории приведено для случая абстрактного математического (концептуального) пространства и времени. Правомерность же переноса этого решения на реальное физическое пространство и время (т.е. онтологизация пространственно-временного континуума) отнюдь не является доказанной. Необходимо учитывать, что свойства математического континуума, приписываемые пространству и времени, являются в отношении реальности идеализациями⁵ определенного уровня⁶.

Куда более существенными являются замечания, указывающие на принципиальную несостоятельность континуалистской теории протяженности в философско-методологическом отношении. Дело в том, что последовательное описание структуры пространства и времени как математического континуума приводит к концепции так называемого геохронометрического конвенционализма. Суть ее в следующем⁷. В моделях дискретного пространства (и времени) имеются привилегированные единицы их измерения – элементарные длины (и временные интервалы), являющиеся, так сказать, “атомами” пространства (и времени). Процедура измерения здесь сводится к пересчету элементарных длин (и временных) интервалов. Таким образом, метрическое описание дискретных множеств однозначно детерминируется их структурой. Совершенно иная картина наблюдается при измерении непрерывных множеств. Пространство и время, рассматриваемые как математически непрерывные многообразия, сами по себе лишены внутренне присущей им метрики, т.е. метрики, существующей независимо от наблюдателя и его измерительных стержней и часов, как это имеет место для дискретных многообразий. Еще Лейбниц отмечал, что “в пространстве наша мысль не может найти определенной малой величины, подобной единице среди целых чисел, за пределы которой нельзя выйти”⁸. На это же обстоятельство указывал Риман: “...В случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте”⁹. Таким образом измерение непрерывного пространства предполагает обращение к внешнему телу, которое должно выполнять функции метрического стандарта. Такой стандарт не является единственным. “Непрерывность физического пространства, – пишет А.Грюнбаум, – предполагает неограниченный конвенциональный выбор единицы длины”¹⁰. Следствием отсутствия в континууме внутреннего метрического масштаба служит свойство метрической аморфности континуума, заключающееся в том, что его можно делить произвольное число раз и по произвольному закону, причем число различных законов деления неограниченно.

Сама по себе модель непрерывного пространства объективно и однозначно не определяет конгруэнтности. Конгруэнтность оказывается конвенцией именно потому, что она объективно однозначно не определена. Аксиома конгруэнтности, подразумевающая, что длины двух тел будут совпадать повсюду, если они совпадают в некотором месте пространства, считалась самоочевидной для физической геометрии Декарта и Ньютона. Однако после работ Лобачевского и Больяи господствующая кантианская точка зрения об априорном характере геометрических постулатов безвозвратно утратила статус научной истины. “...Геометрические аксиомы вовсе не такие предложения, которые принадлежат лишь чистому учению о пространстве. Они высказывают... утверждения о величинах. О величинах можно говорить только, если мы знаем или сознаем какой бы то ни было способ, по которому можно эти величины сравнивать, разлагать на части и измерять. Каждое измерение пространства и поэтому вообще все применения к пространству понятия о величинах предполагают, стало быть, возможность движения пространственных образов, которых форму и величину, несмотря на движение, мы вправе считать неизменными. Такие пространственные формы в геометрии, правда, принято обозначать лишь как геометрические тела, поверхности, углы, линии, потому что мы отвлекаем их от всех прочих различий физического и химического характера, свойственных телам; однако одно физическое свойство остается, а именно твердость (неизменяемость). Но для неизменяемости тел и образов мы не имеем никакого другого признака, кроме того, что они во всякое время и со всяком месте и после всякого вращения, будучи наложены одно на другое, всегда дают те же совпадения, что и раньше. Но не изменились ли наложенные друг на друга тела, - оба в одинаковом направлении, этого мы вовсе не можем решить чисто геометрическим путем, не прибегая к механическим соображениям”¹¹. На это обстоятельство указывал и А.Пуанкаре: “...Я никогда не говорил, что кто-то может установить с помощью эксперимента, сохраняют ли некоторые тела свою форму... Выражение “сохранять свою форму” само по себе не имеет никакого смысла, но я считаю, что ему можно придать смысл, обусловив, что об определенных телах будет говориться, что они сохраняют свою форму”¹². Положение о самоконгруэнтности твердого стержня¹³ в явном виде вошло в систему базовых предположений и постулатов специальной теории относительности.

О неудовлетворительности (в указанном выше смысле) континуалистской теории протяженности свидетельствует уже то, что, касаясь физического аспекта излагаемой теории, А.Грюнбаум вынужден признать: с телами природы следует ассоциировать не термин “точка”, а термин “линейный континуум точек”. И далее: “Под точкой этого тела понимается в таком случае не что иное, как элемент, обладающий формальными свойствами, которые приписываются точке постулатами геометрии”¹⁴. И действительно, основной элемент теории точечных множеств – непротяженный, неделимый вырожденный интервал, состоящий из единственной точки, приобретает статус формального объекта математической теории (геометрии), определенно не имеющего отношения к “телам природы”.

Заметим, что вместо приписывания a priori “элементам природных тел” свойств математической точки тут скорее следовало бы задаться вопросом об адекватности используемых геометрических постулатов реальности, причем сделать это совершенно в духе известного высказывания Б.Римана: “Решение этих вопросов можно надеяться найти лишь в том случае, если, исходя из ныне существующей и проверенной опытом концепции, основа которой положена Ньютоном, станем постепенно ее совершенствовать, руководясь фактами, которые ею объяснены быть не могут... Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке – физике, и переступать его не дает нам повода сегодняшний день”¹⁵.

Это суждение неизбежно ассоциируется с принятием момента дискретности. В то же время понимание пространственной квантованности в форме строгой дискретности для физики (как и для математики) является неприемлемым, поскольку не отвечает целому ряду базовых представлений (о чем подробнее говорится в соответствующих разделах). С другой стороны, и последовательный континуалистский подход небезукоризнен¹⁶ не только с конкретно-научной, но и с философско-методологической точки зрения, – достаточно обратить внимание на игнорирование им закона перехода количественных изменений в качественные: при делении исходного интервала (несчетного множества) на сколь угодно большое число частей, качественные свойства получаемых подынтервалов считаются эквивалентными свойствам исходного множества. Приписывание реальному физическому пространству (и времени) геометрической структуры непрерывного многообразия может уводить в сторону от материалистического взгляда на метрические свойства пространства-времени, как это показано на примере концепции геохронометрического конвенционализма. Придерживаясь положения об объективности законов внешнего мира, отражаемых законами той или иной физической теории, необходимо отдавать предпочтение скорее утверждениям некоторой теории физического пространства и времени, нежели утверждениям геометрии.

1 Там же. - С. 207-208.

2 Там же. - С. 218.

3 Там же. - С. 218.

4 Если непрерывность связывается с несчетностью, то она оказывается относительной, поскольку известная в теории множеств теорема Левенгейма - Сколема утверждает относительность счетного и несчетного как следствие возможности построения различных аксиоматик для теории множеств. “Множества, несчетные в рамках одних теоретико-множественных аксиоматик (в силу отсутствия в таких аксиоматиках подходящих средств пересчета), могут оказаться счетными в рамках других, более богатых средствами пересчета аксиоматических теорий. Таким образом, вопреки Г.Кантору (и А.Грюнбауму), не существует абсолютно неисчислимых множеств.” (Панченко А.И. Континуум и физика. - М.: Наука, 1975. - С. 105.).

5 Под идеализацией понимается “обоснованное объективным отношением независимости замещение исходного реального объекта его гипотетическим описанием, которое функционирует как реально неосуществимая модель объекта” (Розов М.А. Научная абстракция и ее виды. - Новосибирск, 1965. - С. 85.).

6 Чудинов Э. Послесловие / Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1969.; Петров Ю.А. Логические проблемы абстракций бесконечности и осуществимости. - М.: Наука, 1967.

7 Чудинов Э. Послесловие / Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1969. - С. 554.

8 Лейбниц Г.В. Новые опыты о человеческом разуме. - М. - Л., 1936. - С. 138.

9 Риман Б. О гипотезах, лежащих в основе геометрии / Об основаниях геометрии. - М.: Гостехиздат, 1956. - С. 324.

1 0 Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1969. - С. 19.

11 Гельмгольц Г. О происхождении и значении геометрических аксиом. - СПб., 1895. - С. 50-51.

12 Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1969. - С. 155-157.

13 "Эмпирические понятия, - писал Риман, - на которых основывается установление пространственных метрических отношений, - понятия твердого тела и светового луча, - по-видимому, теряют всякую определенность в бесконечно малом. Поэтому вполне мыслимо, что метрическое отношение пространства в бесконечно малом не отвечает геометрическим допущениям..." (Риман Б. О гипотезах, лежащих в основе геометрии / В кн.: Об основаниях геометрии. - М.: Гостехиздат, 1956. - С. 324.).

14 Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1969. - С. 222.

15 Риман Б. О гипотезах, лежащих в основе геометрии / Об основаниях геометрии. - М.: Гостехиздат, 1956.

16 "Непрерывность пространства-времени, - писал Б. Рассел, - являющаяся техническим предположением физики, не имеет никакого предпочтения, кроме технического удобства... Теоретически возможны свидетельства против непрерывности, но никогда не может быть решающего свидетельства в ее пользу" (Рассел Б. Человеческое познание. - М., 1957. - С. 327.).

Сайт создан в системе uCoz