Традиционный способ математического моделирования процессов самоорганизации в социуме - применение дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений (см. библиографию в [5]). Родоначальниками его считаются А. Лотка, выпустивший книгу "Elements of Physical Biology" (Baltimore, 1925) и В. Вольтерра, чья статья "Sulla periodicita delle fluttuazioni biologiche" появилась в 1927 г. Всегда ли аппарат (интегро) дифференциальных уравнений применим в социосинергетике для адекватного описания. например, социально-экономического развития? Хотя один из авторов использовал дифференциальные уравнения, моделируя процессы самоорганизации носителей культурных образцов в социуме [б], имеются сомнения в универсальности этого аппарата.
Сомнения возникают, если принять во внимание, что парадигмальной моделью когнитивной активности, т.е. способности обучаться и распознавать сообщения, сегодня служит нейронная сеть [7]. Отличием нейросети от "обычных" физических, химических, биологических и т.п. динамических систем является указанная способность Моделирование поведения динамических систем (интегро) дифференциальными уравнениями и интерпретация его особенностей с помощью построений в фазовом пространстве имеют под собой фундаментальную методологическую основу [3-5]. Столь же основательно построена и за полвека усовершенствована теория нейросетей. Но авторам неизвестна математическая модель социосинергетики, учитывающая когнитивную активность.
Шагом в этом направлении ("по пути к синергетике с человеческим лицом", если воспользоваться выражением из статьи [4]) могло бы стать включение в содержание моделей социального и экономического развития описание процессов познания, т. е. восприятия и обработки индивидами или сообществами потоков информации. Продуктивность такого описания способны обеспечить математические средства теории нейронных сетей [7], разработанные для моделирования актов мышления.
Возможность применения нейросетевого аппарата за пределами теории нейронных сетей, была продемонстрирована одним из авторов в работах [8, 9]. Это в некоторой степени оправдывает попытку его распространения и в область социально-экономических задач.
Чтобы конкретизировать высказанные соображения, целесообразно сначала коснуться способов представления эволюции динамической системы, затем дать понятие о нейронной сети и далее показать один из вариантов синтеза теорий динамических систем и нейронных сетей в данном аспекте (см. тезисы доклада С. А. Буфалова в настоящем сборнике).
Согласно определению, динамическая система есть математический объект, соответствующий реальным системам, эволюция которых однозначно обусловливается начальным состоянием. Динамическая система определяется системой уравнений. допускающих существование на бесконечном интервале времени единственного решения для каждого начального условия. Состояние динамической системы в данный момент описывают набором переменных. Множество этих состояний образует фазовое пространство, в котором каждому состоянию отвечает точка, а эволюция изображается траекториями. Социально-экономические, демографические, исторические и др. сюжеты, интерпретируемые с помощью фазовых траекторий, приведены в книгах [5, 10]. Понятия динамической системы и фазового пространства (точнее, пространства кокасательного расслоения) являются основными в нелинейной динамике.
Теперь рассмотрим основные моменты нейросетевого описания. Нейронные сети -методика обработки информации, выступающая в качестве аналога соответствующих информационных процессов в биологических нервных системах типа мозга. Фундаментальное значение в теории нейронных сетей имеет идея о структуре системы, обрабатывающей информацию. Для описания алгоритмов и устройств в теории нейронных сетей выработана специальная "схемотехника", в которой элементарные устройства: сумматоры, синапсы, нейроны и т.п. - объединяются в сети, предназначенные для решения задач. Стандартный формальный нейрон составлен из входного сумматора, нелинейного преобразователя и точки ветвления на выходе.
Будучи составленной из большого количества сильно взаимосвязанных элементарных процессорных элементов - нейронов, - нейронная сеть использует человекоподобную методику решения задачи, основанную на предварительном обучении решению типовых задач (patterns). Нейронная сеть конфигурируется (настраивается) под определенную прикладную задачу типа классификации данных или распознавания образов в ходе специального процесса, называемого обучением. Подобно тому, как и в биологических системах, обучение включает коррекцию синаптических связей, выполняющих роль каналов передачи информации между нейронами.
Нейронные сети могут решать проблемы, которые не имеют алгоритмического решения или для которых оно оказывается настолько сложным, что не оправдывает затрат. Вообще говоря, нейронные сети хорошо подходят к тем проблемам, которые традиционно решаются исключительно человеком, и для которых компьютеры мало приспособлены. Некоторые из них сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений, распознаванию образов и классификации, пониманию и синтезу речи, прогнозированию и восстановлению пробелов в данных, а также к задачам обработки изображений, управления роботами и непрерывными производствами, диагностики заболеваний людей и технических неполадок в машинах и приборах. Нейронные сети вычисляют линейные и нелинейные функции одного переменного, а также всевозможные суперпозиции - функции от функций, получаемые при каскадном соединении сетей. Благодаря теореме Колмогорова о представлении непрерывных функций многих переменных суперпозициями функций одного переменного н линейных функций, нейронные сети могут осуществлять и многомерные отображения.
В методологическом плане вопрос об учёте когнитивной активности в моделях самоорганизации в социуме примечателен ещё и соотношением между классом динамических систем и классом нейросетей. Поскольку нейросеть также есть математический объект, моделирующий эволюцию реальной системы, то в этом аспекте нейросети образуют подкласс динамических систем. Но отличительной чертой нейросети является упоминавшаяся выше восприимчивость к информации, обучаемость. А традиционные динамические системы не передают специфики когнитивных процессов, моделируемых нейросетью. Т.е. в отношении обучаемости динамические системы составляют частный случай класса нейросетей. Здесь налицо классификационное противоречие. Оно преодолимо, если модернизировать аппарат теории динамических систем и обеспечить его пригодность для описания математических объектов типа нейросетей.
В тезисах доклада С. А. Буфалова, представленных в настоящем сборнике, показана возможность генерализации топологических свойств фазового пространства динамической системы (в контексте учёта особенностей нейронной сети как модели когнитивных процессов), при которой изменение метрического тензора TF-пространства сопоставляется с процессом обучения динамической системы, благодаря чему она приобретает дополнительные эволюционные степени свободы, заложенные в метрических характеристиках её фазового пространства.
Динамическая система в TF-пространстве локально описывается с помощью дифференциальных уравнений относительно обобщённых координат
,
i = 1,…, n 
и
, - новые
обобщённые координаты и импульсы в TF-пространстве. Тогда: 
,
,i,
j = 1,…, n,
и 
- матрицы
Якоби преобразования. По индексам, повторяющимся дважды, подразумевается суммирование.
