После решения нормальной контактной задачи, можно приступить к обсуждению тангенциальной контактной задачи. Границы пятна контакта зависят только от нормальной нагрузки. Поэтому в предположении ее постоянства удобно перейти в систему координат, связанную с площадкой контакта и использовать координаты Эйлера. То есть перейдем в систему координат, связанную с осью колеса.

Далее рассмотрим одно волокно контактного слоя. На рисунке а зафиксирован момент входа волокна в контакт. В силу наличия крипа основание волокна движется с некоторой скоростью относительно земли. На рисунке б черным цветом показано положение контактного волокна в предположении отсутствия скольжения. При полном скольжении контактное волокно не претерпевает сдвиговых деформаций (показано синим цветом) и только изменяет длину. На рисунке в показана ситуация когда трение уже не может обеспечить сцепление (красный цвет) и контактное волокно начинает скользить по основанию (черный жирный).

Рассмотрим детально рисунок в

где

Скорость движения точки O в нашей системе координат может быть вычислена через угловую скорость вращения колеса

скорость движения точки R равна скорости оси колеса

Разность скоростей этих точек может быть вычислена через производные от скольжения и сдвига

Выразим производную от сдвига по времени через производную по координате:

Учитывая, что все точки контактного волокна имеют примерно одинаковые скорости вблизи скорости движения оси колеса, можем записать

Таким образом, получаем:

Введем обозначение

и разделим уравнение на скорость движения оси колеса

где

Выражая сдвиг через касательное усилие в контакте, получаем

При нашей модели колеса (см. рис. а, б, в) и очевидно, что скольжение на набегающем крае отсутствует и появляется только после превышения сдвига контактных волокон некоторой величины, когда трение уже не может обеспечить сцепления. Таким образом, в некоторой зоне начиная от набегающего края скольжение отсутствует

Таким образом, можем записать, что

откуда находим касательные усилия

Однако касательная контактная нагрузка ограничена законом Кулона

где

Таким образом, полученное выражение (*) справедливо только до некоторого значения координаты

которое получаем из уравнения

Для контактных давлений, согласно нашей модели контактного слоя, мы имеем выражение

где

Тогда решением уравнения (**), будет

Рассмотрим две крайние ситуации. При нулевом крипе мы имеем

То есть полное сцепление. Но существует такая величина крипа, при котором начинается полное скольжение. Эта величина может быть определена из уравнения

В случае, если

то силу трения следует вычислять двойным интегрированием

иначе, при больших крипах и полном скольжении, сила трения вычисляется по закону Кулона

Теперь все готово для того, чтобы вычислить работу сил трения и износ.