Если квадратичная зависимость скорости света от скорости источника вида c_u = c_o(1 + u²/c_o²)^1/2 существует в реальной действительности, то известные преобразования Лоренца окажутся не строгими, а лишь приближенными преобразованиями координат и времени событий от одной инерциальной системы отсчета к другой, справедливыми только для не слишком больших скоростей относительного движения инерциальных систем отсчета, при которых зависимость скорости света от скорости источника можно пренебречь. Тогда сразу же возникает вопрос, а каковы точные преобразования координат и времени событий от одной инерциальной системы отсчета к другой, согласующиеся с законом распространения света от движущегося источника c_u = c_o(1 + u²/c_o²)^1/2.

             Ответ на этот вопрос проще всего удается получить при выводе преобразований координат и времени методом А. А. Логунова ([ [6]. Логунов А. А. Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы. 3-в изд., доп., - М.: Изд-во МГУ, 1985], стр. 27 - 29).

            Рассмотрим те же две движущиеся друг относительно друга инерциальные системы отсчета А и B, которые мы рассматривали в разделе 3. Пусть в инерциальной системе отсчета B, которая движется со скоростью u в положительном направлении оси X инерциальной системы отсчета А, покоится какой-нибудь объект.

              Тогда при выводе преобразований координат и времени событий, происходящих с этим объектом, следует учесть, что при бесконечно малом изменении состояния этого объекта, вызванном происходящим с ним событием, изменяется положение или состояние движения зарядов, из которых этот объект состоит, в результате чего в окружающем этот объект вакууме образуется и распространяется электромагнитная волна (которую мы для краткости в дальнейшем будем называть "свет"). Свет этот в инерциальной системе отсчета B, в которой покоится объект, с которым происходит рассматриваемое событие, естественно, имеет скорость c_o, а в инерциальной системе отсчета А, относительно которой этот объект движется вместе с системой B со скоростью u, свет этот распространяется со скоростью, определяемой выражением (2.1). Вследствие этого выражение для интервала в галилеевых координатах инерциальной системы отсчета А имеет вид

ds^{2 =} c_u²dt²- dx² - dy² - dz², (6.1)

где c_u определяется выражением (2.1).

             Совершим над выражением (6.1) преобразования Галилея

x'' = x - u t, t'' = t, y'' = y, z'' = z . (6.2)

Для этого запишем преобразования, обратные (6.2)

x = x'' + u t'', t = t'', y = y'', z = z'' . (6.3)

где x,  y,  z,  t - галилеевы координаты события в инерциальной системе отсчета А.

              Взяв дифференциалы от обеих частей равенств (6.3) и подставив dx,  dy,  dz,  dt  в выражение для интервала (6.1), получим

ds^{2 =} c_u²(dt'')²(1 - u²/c_u²) - 2 u dx'' dt'' - (dx'')² - (dy'')² - (dz'')².       (6.4)

От возникшего в выражении (6.4) перекрестного члена dx'' dt'' можно избавиться. Для этого выделим в выражении (6.4) полный квадрат. В результате интервал (6.4) примет вид

ds^{2 =} c_o²[y(u) dt''(1 - u²/c_u²)^1/2 - u dx''(1 - u²/c_u²)^-1/2(c_oc_u)^-1]² - (dx'')²/(1 - u²/c_u²) - (dy'')² - (dz'')²,   (6.5)

где y(u) = (1 + u²/c_o²)^1/2, т. е. определяется выражением (3.13).

              Теперь введем новое время

t' = y(u) t'' (1 - u²/c_u²)^1/2 - u x''(1 - u²/c_u²)^-1/2(c_oc_u)^-1 (6.6)

и новые координаты

x' = x'' (1 - u²/c_u²)^-1/2,  y' = y'' , z' = z''. (6.7)

Тогда выражение (6.5) принимает вид

ds^{2 =} c_o²(dt')²- (dx')² - (dy')² - (dz')². (6.8)

                Но выражение (6.8) есть выражение для интервала в галилеевых координатах инерциальной системы отсчета B.

               Следовательно, применив последовательно преобразования (6.2) и преобразования (6.6) - (6.7), мы от интервала (6.1) в инерциальной системе отсчета А перешли к интервалу (6.8) в инерциальной системе отсчета B. Это означает, что, подставляя выражения (6. 2) в выражения (6.6) и (6.7), мы получим преобразования координат и времени событий от инерциальной системы отсчета А к инерциальной системе отсчета B

c_ot' = Г (c_ut   - b x) ,   x' = Г (x - b c_ut ) ,     y' = y ,   z' = z , (6.9)

где b = u/c_u ,  Г = (1 - b ²)^-1/2.

               Обратные преобразования имеют вид

c_ut = Г (c_ot' + b x'),  x = Г (x' + b c_ot' ), y = y', z = z', (6.10)

где  b  = u/c_u;  Г = (1 - b ²)^-1/2; c_u = c_o(1 + u²/c_o²)^1/2 .

              Выражения (6.9) и (6.10) являются прямыми и обратными преобразованиями координат и времени событий от одной инерциальной системы отсчета к другой для того частного случая, когда события происходят с объектом, покоящимся в инерциальной системе отсчета B.

                Аналогичным образом можно показать, что если события происходят с объектами, покоящимися в инерциальной системе отсчета А, то прямые и обратные преобразования координат и времени этих событий от одной инерциальной системы отсчета к другой имеют вид

c_ot = Г (c_ut' + b x'),   x = Г (x' + b c_ut' ),   y = y',   z = z', (6.11)

c_ut' = Г (c_ot   - b x),   x' = Г (x - b c_ot ),    y' = y,   z' = z , (6.12)

где, по-прежнему,  b  = u/c_u ,  Г = (1 - b ²)^-1/2,    c_u = c_o(1 + u²/c_o²)^1/2.

                Нетрудно заметить, что если зависимостью скорости света от скорости источника можно пренебречь (при малых скоростях движения источника по сравнению с константой c_o), то преобразования (6.9), (6.10), (6.11) и (6.12) превращаются в преобразования Лоренца из специальной теории относительности

c_ot' = Г (c_ot - b x),   x' = Г (x - b c_ot ),    y' = y,   z' = z , (6.13)

c_ot = Г (c_ot' + b x'),   x = Г (x' + b c_ot' ),   y = y',   z = z', (6.14)

где  Г = (1 - b ²)^-1/2;   b = V/c_o ; V - скорость движения одной из инерциальных систем отсчета относительно другой, которая не может быть больше c_o.

             Преобразования (6.9)...(6.12) справедливы для того частного случая взаимного расположения и движения инерциальных систем отсчета А и B, при котором одноименные оси координат этих двух инерциальных систем отсчета параллельны друг другу, оси x и x' совпадают друг с другом и система отсчета B движется в положительном направлении оси x системы отсчета А. Найдем теперь методом Логунова [ [6]. Логунов А. А. Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы. 3-в изд., доп., - М.: Изд-во МГУ, 1985] формулы преобразования координат и времени событий от одной инерциальной системы отсчета к другой при произвольном направлении движения одной системы отсчета относительно другой с постоянной скоростью, если события происходят с объектом, покоящимся в инерциальной системе отсчета B.

            Обозначим через x, y, z компоненты вектора в инерциальной системе отсчета А. Тогда выражение для интервала (6.1) в этой системе отсчета А будет иметь вид

(6.15)

Совершим над выражением (6.15) преобразования Галилея

(6.16)

Для этого запишем преобразования, обратные преобразованиям (6.16)

(6.17)

Взяв дифференциалы от обеих частей равенств (6.17) и подставив и d t  в выражение (6.15), получим

или

, (6.18)

где

.

Наша цель - найти такие новые переменные t' и , в которых выражение (6.18) можно записать в виде

(6.19)

Поэтому сначала введем в выражении (6.18) обозначение

(6.20)

или

(6.21)

Подставляя в правую часть выражения (6.21) преобразования Галилея (6.16), получим

или

(6.22)

Отрицательную часть интервала (6.18) также выразим через переменные t и

. (6.23)

Первые два члена из правой части выражения (6.23) можно записать в виде квадрата некоторого вектора, т. е.

(6.24)

Тогда выражение (6.23) можно переписать в виде

 (6.25)

Но правая часть выражения (6.25) есть квадрат вектора. Поэтому выражение (6.25) можно переписать в виде

(6.26)

Теперь введем обозначение

(6.27)

Тогда пространственно-подобная часть интервала (6.18) принимают вид

(6.28)

Следовательно, мы из выражения (6.18) получили выражение (6.19) и одновременно с этим мы также получили формулы преобразования координат и времени событий, которые происходят с объектом, покоящимся в инерциальной системе отсчета B, для общего случая движения системы отсчета B с постоянной скоростью в произвольном направлении (см. выражения (6.22) и (6.27))

(6. 29)

Аналогичными рассуждениями можно показать, что если события происходят с объектом, покоящимся в инерциальной системе отсчета А, то вместо преобразований (6.29) получим преобразования

(6.30)

Итак, если в природе существует квадратичная зависимость физической скорости света от скорости движения источника вида (2.1), то вместо прямых и обратных преобразований Лоренца (6.13) и (6.14) из специальной теории относительности в новой теории пространства-времени необходимо использовать:

          а) прямые и обратные преобразования (6.11) и (6.12) - если события происходят с объектами, покоящимися в инерциальной системе отсчета А;

          б) прямые и обратные преобразования (6.9) и (6.10) - если события происходят с объектами, покоящимися в инерциальной системе отсчета B.

          Преобразования (6.9) получены впервые (с точностью до обозначений) Котельниковым Г. А. [ [52]. Котельников Г.А. Об инвариантности скорости света в специальной теории относительности // Вестник Моск. ун-та. Физ., астрон. – М.: Изд-во МГУ, 1970. - № 4. - с. 371 - 374.]. Однако подлинный физический смысл полученных им преобразований (см. формулы (2) из [52]) Котельникову Г. А. найти не удалось. Отличие этих преобразований от преобразований Лоренца из специальной теории относительности Котельников Г. А. объяснил отсутствием синхронизации хронометров, покоящихся в движущихся друг относительно друга инерциальных системах отсчета. На этом основании Котельников сделал ошибочный вывод о том, что полученные им преобразования сохраняют все кинематические и динамические эффекты специальной теории относительности.