Главная
страница Поиск
Аннотация: Показано, что задача Коши для волнового уравнения не имеет единственного решения. Как следствие, в общем случае калибровочная (градиентная) инвариантность в электродинамике не имеет места. Высказывается мысль, что аналогичные нарушения единственности решения могут иметь место не только для уравнений гиперболического и параболического типа, но и для эллиптического типа.
Введение
Единственность решения это один из принципиальных вопросов, на которых базируется как математика, так и физика. В любом учебнике доказательству существования и единственности решения уделяется особое внимание. Теорема о существовании и единственности доказывается и для волнового уравнения. В частности, если мы имеем неоднородное волновое уравнение [1]
(1)
для неограниченного пространства при заданных начальных условиях:
и (2),
то решение единственно и имеет вид:
(3)
Теорема
Докажем теперь теорему о накушении единственности задачи Коши для волнового уравнения.
Доказательство
Метод построения второго решения
Легко видеть, что, если j = 0, y = 0 и f = 0, мы имеем тривиальное решение: u = 0. Покажем теперь, что при этих условиях может существовать нетривиальное решение, т.е. имеет место нарушение единственности решения. Отсутствие в рассматриваемом случае граничных условий не нарушает общности рассуждений и сохраняет метод построения второго решения для задач с граничными условиями.
Представим решение однородного волнового уравнения
(4)
при нулевых начальных условиях: u(x;0)=0 и
в виде суммы u = v + s, (5)
где s – функция, которую мы выбираем, исходя из определенных соображений, а v – функция, которую нам предстоит найти, зная функцию s.
Подставим (5) в уравнение (4) и перенесем все члены, зависящие от v в левую часть.
(6)
Определим начальные условия для функции v:
v(x;0) = -s(x;0) и (7)
Решение уравнения (7) имеет вид [1]: (8)
где (9)
Нам нужно показать, что путем соответствующего подбора функции s, функция u = v + s будет отлична от нуля, т.е. мы будем иметь нетривиальное решение однородного волнового уравнения с нулевыми начальными условиями задачи Коши.
(10)
Теперь остается обосновать выбор функции s, поскольку не любая функция может дать нетривиальное второе решение. Это большая самостоятельная задача. Руководствуясь результатами, изложенными в Приложении 1, можно утверждать, что второе решение будет тривиальным, если функция s удовлетворяет однородному волновому уравнению или же является частным решением неоднородного волнового уравнения (1). Следовательно, если мы хотим получить нетривиальное второе решение, функция s не должна удовлетворять этому условию.
Покажем теперь на примере, что нетривиальное решение имеет место.
Пример
Пусть, например, функция s определяется выражением:
(11)
Как нетрудно заметить, начальные условия нулевые:
v(x;0) = -s(x;0) = 0 и (12)
Чтобы показать, что второе решение не является тривиальным, достаточно показать, что оно отличается от нуля хотя бы в одной точке xo в момент времени to . Из-за громоздкости выражения мы не будем приводить все решение, а запишем его для интервала времени
при t>>2p . (13)
Для определенности будем считать, что 2а < 1.
Учитывая начальные условия (12) и принимая во внимание (11), запишем решение для интервала (13):
, (14)
где
(15)
После взятия внутреннего интеграла решение на интервале времени (13) имеет вид:
(16)
Этот интеграл не равен тождественно нулю.
Итак, второе решение существует (14) и оно отлично от нуля по крайней мере для t > 2p в указанном интервале пространства-времени. Тем самым доказано, что задача Коши для волнового уравнения не имеет единственного решения.
Применение результатов.
В физике широко используются процедуры, называемые “калибровками уравнений”. Например, в уравнениях Максвелла поля Е и Н могут быть записаны с помощью потенциалов в виде калибровки Лоренца или же в кулоновской калибровке. При этом формы уравнений, описывающих потенциалы, оказываются различными. Доказательство нарушения единственности решения дает повод для изучения процедуры калибровки.
Пусть мы имеем неоднородное волновое уравнение
(17)
соответствующими начальными условиями: u=f (x) и ¶ u/¶ t =y (x) при t=0.
Представим, как и раньше, решение этого уравнения в форме (2): u=v+f
Оставим в левой части волнового уравнения только члены, зависящие от v. Как и в предыдущем случае, мы могли бы задать явный вид функции f (как говорят: “взяв ее с потолка”) и получить новое решение неоднородного волнового уравнения. Но можно поступить иначе. Мы можем наложить на f некоторое условие. Например, мы можем потребовать, чтобы функция f удовлетворяла уравнению Пуассона (чтобы f была бы решением уравнения Пуассона (18)):
. (18)
Уравнение для v в этом случае примет вид:
(19)
Если решение уравнения (16) существует (функция F интегрируема), то уравнение для функции v определено и, соответственно, определены начальные условия задачи Коши: и
Если решение для v существует, мы имеем новое решение u=v+f для волнового уравнения. Отличие нового решения от стандартного (3) состоит в том, что во втором решении присутствуют не только запаздывающие, но и мгновенно действующие потенциалы.
Такой метод построения второго решения теперь уже определяется не через выбор произвольной функции, а через процедуру калибровки потенциала (u = v + f) волнового уравнения. Иными словами, мы ищем решение (потенциал u) как сумму выражений, имеющих различную функциональную зависимость от координат и времени (запаздывающие потенциалы, мгновенно действующие потенциалы, потенциалы, удовлетворяющие уравнению теплопроводности и т.д.) .
Следствия, вытекающие из отсутствия единственности решения весьма существенны не только для электродинамики, для квантовых теорий и т.д., но и для всей физики. Из нарушения единственности решения следует в общем случае, что в электродинамике калибровочная (градиентная) инвариантность не имеет места. Например, калибровка Лоренца уравнений Максвелла дает решения, отличающиеся от решений в кулоновской калибровке [2], [3]. Однако существует важный частный случай (при наложении специального условия на токи и заряды в уравнениях Максвелла), когда эти калибровки можно рассматривать как эквивалентные. Он рассмотрен в работе [4].
Остается добавить, что для уравнений параболического типа (уравнение теплопроводности, уравнение Шредингера и др.) можно доказать аналогичную теорему. Мы полагаем, что и для уравнений эллиптического типа (задачи Дирихле, Неймана и др.) также имеет место нарушение единственности решения.
Приложение 1
Рассмотрим однородное волновое уравнение без граничных условий с нулевыми начальными условиями.
(П.1)
для неограниченного пространства при заданных начальных условиях:
и (П.2),
Стандартное решение этого уравнения – тривиальное U = 0.
Будем искать новое решение в виде суммы U2 = u + V. (П.3)
Пусть функция V является решением волнового уравнения
(П.4)
при следующих начальных условиях
и . (П.5)
Функция f , а также начальные условия (П.5) нам известны или же мы их задаем сами.
Теперь, используя (П.1), (П.3) и (П.4) мы можем записать уравнение для U
(П.6)
Начальные условия для u , исходя из (П.5) и (П.2), имеют вид:
и . (П.7)
Сравнивая правые части уравнений (П.4) и (П.6), а также начальные условия (П.5) и (П.7) можно заметить, что они одинаковы с точностью до знака. Следовательно, функции V и u будут также одинаковы, но они будут иметь противоположные знаки, т.е. мы имеем тривиальное решение U2 = u + V = 0.
Итак, если функция V есть решение однородного (или неоднородного) волнового уравнения, то второе решение будет тривиальным U2 = 0.
Источники информации:
Электронные источники информации:
Публикуется с разрешения автора