ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ В ТЕОРИИ ТАХИОНОВ
Формулы преобразования в кинематике тахионов будем искать исходя из требования, чтобы они оставляли неизменными все длины в 4-мерном пространстве
x, y, z, ct. В частности, должен оставаться инвариантным интервалdS2 = dx2 + dy2 + dz2 – c2dt2 і 0. |
(3) |
Как и в СТО, математически искомое преобразование будет выражаться как вращение 4-мерной системы координат. Рассмотрение поворота в пространственно-временной плоскости
tx оставляет неизменным квадрат расстояния x2 – c2t2, а координаты y и z оставляем фиксированными. Работая в псевдоевклидовом пространстве, мы заменяем тригонометрические функции гиперболическими. В общем виде старые и новые координаты связаны соотношениямиx = x' chY + ct' shY |
|
ct = x' shY + ct' chY , |
(4) |
где
Y – параметр поворота, непосредственно связанный с относительной скоростью. Нетрудно проверить, что эти преобразования оставляют неизменным квадрат расстояния в тахионном мире:x2 – c2t2 = x'2 – c2t'2.
Ближайшей нашей целью является поиск формул преобразований из тахионной инерциальной системы отсчета
k в систему отсчета k' тахиона, который находится в состоянии движения относительно k со скоростью V, помня, что с ним нельзя связать систему координат, в которой он покоился бы в пространстве, т.е. x' № 0.Рассмотрим движение в системе отсчета
k тахиона, который в своей системе отсчета k' покоится во времени t' = 0. Тогда из (4) с учетом t' = 0 имеемx = x' chY |
|
ct = x' shY |
(5) |
или, разделив одно равенство на другое, получим
x/ct = chY /shY = cthY .
Но в нашем понимании
x/t есть относительная “скорость” систем отсчета k и k'. Таким образом,cthY = V/c; |
(6) |
shY = (V2/c2 – 1)–1/2; |
|
chY = (V/c)(V2/c2 – 1)–1/2. |
(7) |
Это и есть искомые компоненты преобразования. Подставив (7) в (4), находим
x = (x' + (c2/V) t')(1 – c2/V2)–1/2, |
|
y = y', z = z', |
(8) |
t = (t' + x'/V)(1 – c2/V2)–1/2. |
Анализируя подкоренное выражение, нетрудно убедиться, что полученные преобразования (8) справедливы только для объектов, движущихся со скоростью, большей скорости света. Это ограничение связано с выбором интервала (*). Скорость света для тахионов представляет собой нижнюю границу скорости. Преобразования (8) в соответствии с известными из СТО преобразованиями Лоренца можно назвать тахилоренцевскими преобразованиями. При
V < c в формулах (8) координаты x и t делаются мнимыми. Это говорит о том, что область применимости полученных преобразований ограничена тахионным миром скоростей c < V Ј Ґ . В совокупности с преобразованиями Лоренца, описывающими досветовой мир, мы получили возможность описания всего пространственно-временного многообразия и полное описание поля возможных скоростей.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ БОЛЬШИХ СКОРОСТЕЙ (
V >> c)Для скоростей много больше скорости света (
V ” c) вместо общих преобразований (8) получаем новые преобразованияx = x' , y = y', z = z', t = t' + x'/V |
(9) |
Математически они соответствуют устремлению в (8) значения скорости света к нулю. В этом случае преобразование (9) можно назвать, по аналогии с галилеевскими преобразованиями в вещественном мире, тахигалилеевскими преобразованиями. Наиболее точно они описывают движение тахионов в области скоростей, близких к бесконечности. Основной вывод, который можно сделать из анализа преобразований (9), заключается в том, что при больших скоростях
V >> c пространственные характеристики движения носят абсолютный характер, т.е. пространственный промежуток между двумя событиями имеет всегда одну и ту же величину независимо от того, в какой инерциальной системе отсчета он измеряется. Тем самым мы считаем возможным рассматривать тахионы как объекты, движущиеся во времени. В частности, из (9) следует, что тахионный наблюдатель обладает способностью проникновения в прошлое и будущее на величину не более D t = ± (x/c), где x – расстояние от наблюдателя до места события, не выходя за пределы своего светового конуса и не вступая при этом в противоречие с СТО.Для трансцендентных тахионов
V = Ґ , характеризующих тахионную систему отсчета, имеемx = x' , y = y', z = z', t = t' |
(10) |
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ ОДНОВРЕМЕННОСТИ И ПРИЧИННОСТЬ
*)Для тахионного наблюдателя отсутствие сопутствующей пространственной системы отсчета не запрещает однозначно фиксировать происходящие в различных точках пространства-времени события и приписывать им соответствующие координаты. Два события с координатами (
x1, y1, z1) и (x2, y2, z2), рассматриваемые в покоящейся системе отсчета, будем называть одновременными, если они происходят по часам этой системы в один и тот же момент времени t0.В движущейся системе отсчета этим событиям соответствуют координаты (
xў 1, yў 1, zў 1) и (xў 2, yў 2, zў 2) в момент времени tў 1 и tў 2. Пусть события происходят на оси x. Согласно преобразованиям (8), находим интервал времени, которым разделены эти события в движущейся системе отсчетаtў 1 – tў 2 =[(x1 – x2)/V] (c2/V2 – 1)–1/2 |
(11) |
Нетрудно видеть, что оба события, одновременные в одной системе отсчета, не являются одновременными в другой. В теории, претендующей на правильность описания явлений, свойство относительности одновременности не должно нарушать причинно-следственную связь событий.
Рассмотрим событие в точке (
x1, t1), являющееся причиной для другого события в точке (x2, t2), причем t2 > t1, и, для определенности, x2 > x1. Тогда величинаU = (x2 – x1)/(t2 – t1) |
(12) |
характеризует скорость передачи информации в цепочке причина-следствие. В движущейся системе отсчета эти события произошли в точках (
xў 1, tў 1) и (xў 2, tў 2) соответственно. Из (8) с учетом (12) для общего случая интервал времени имеет видtў 2 – tў 1 = [(t2 – t1) – (x2 – x1)/V] (c2/V2 – 1)–1/2 = (t2 – t1) (c2/V2 – 1)–1/2 (1 – U/V) |
(13) |
Для того, чтобы не нарушались причинно-следственные отношения, из (13) следует необходимое условие — (1 –
U/V) > 0, или U < V.Нам уже известно, что максимальное значение скорости
V в тахионной теории соответствует трансцендентному состоянию с V = Ґ . Кроме того, любое значение скорости в теории ограничено нижним пределом, равным скорости света. Резюмируя, можно сказать, что в пространственно-временной области движения тахионов причинно-следственные отношения ограничены значениями скоростей в пределах c Ј V Ј Ґ . При этих условиях причинно-следственная связь между тахионными событиями носит абсолютный характер и отсутствуют какие-либо нарушения принципа причинности.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СКОРОСТЕЙ ДЛЯ ТАХИОНОВ
Мы получили преобразования (8), позволяющие переводить координаты события из одной тахионной инерциальной системы отсчета в любую другую инерциальную в сверхсветовом пространстве-времени. Найдем формулы, связывающие скорость тахиона в одной системе отсчета со скоростью этого же тахиона в другой системе.
Пусть взаимное движение систем отсчета
k и k' происходит вдоль оси x и характеризуется постоянной скоростью V. Пусть, далее, vx = dx/dt и vx' = dx'/dt' – компоненты скорости тахиона соответственно в k и k'. Согласно (8) имеем:dx = [dx' + (c2/V)dt'](1 – c2/V2)–1/2 |
|
dy = dy, dz = dz, |
(14) |
dt = (dt' + dx'/V)(1 – c2/V2)–1/2. |
Если мы определяем скорость как производную координаты по времени и поделим пространственные компоненты на временную, то получим формулы преобразования скоростей в тахионном мире:
vx = (c2 + vx'V)/(vx' + V) |
|
vy = vy'(V2 – c2)1/2/(vx' + V) |
(15) |
vz = vz'(V2 – c2)1/2/(vx' + V). |
Если рассматривать движение частицы вдоль оси
x (vx' = v', vx = v, vy' = vz' = Ґ ), тогдаv = (c2 + v'V)/(v' + V) |
(16) |
Из (16) видно, что при подстановке любых возможных в мире тахионов скоростей суммарная скорость ни при каких условиях не может быть меньше скорости света. В частности, если тахион связан с началом системы отсчета
k', т.е. покоится во времени (dt' = 0), или, что равнозначно, v' = Ґ , а система отсчета k' находится в движении относительно k со скоростью V, то наблюдатель в k будет видеть движение тахиона со скоростью:v = (c2 + v'V)/(v' + V) ~ (1/v' + 1/V)–1 = V.
Итак, в одной инерциальной системе тахион обладает скоростью
v' = Ґ , а в другой, движущейся с относительной скоростью V, его скорость равна V. Таким образом, значение скорости равное бесконечности в тахионном мире является относительным. Инвариант для всего поля скоростей один – скорость света.Запишем отдельно наиболее значительные изменения в логике сложения (вычитания) скоростей в сверхсветовом мире:
1. V + Ґ = V; 3. Ґ – V = – V;
2. V + (–V) = Ґ ; 4. Ґ + Ґ = Ґ .
При больших скоростях (
V >> c) тахионный наблюдатель имеет принципиально новые для нас результаты. При этом преобразования скоростей (15) переходят в формулы механики тахионного мира, имеющие существенные отличия от сложения скоростей в классической механике вещественного (досветового) мира (v = v' + V).Из (15) при
c ® 0 находимvx = vx'V/(vx' + V) |
|
vy = vy'V/(vx' + V) |
(17) |
vz = vz'V/(vx' + V). |
В частном случае при рассмотрении движения частицы параллельно оси
x (vx = v, vx' = v', vy' = vz' = Ґ ) имеем1/v = 1/v' + 1/V. |
(18) |
При сложении двух одинаково направленных скоростей из (18) следует, что суммарная скорость всегда будет меньше (или равна) минимального из слагаемых значения. Иначе говоря, сложение скоростей в тахионном мире уменьшает общую скорость, но никогда не становится меньше скорости света. Видно, что изучение процессов и явлений в тахионном мире в дальнейшем потребует выработки нового логического формализма и более внимательного анализа получаемых результатов. В рассматриваемых ранее другими авторами теориях появление парадоксов в сверхсветовых явлениях, с нашей точки зрения, связано именно с неадекватным перенесением образа мышления от субсветовой на сверхсветовую картину мира. Как бы ни отличались выводы СТО и теории тахионов друг от друга в их концептуальных системах существуют общие элементы и связи, переносимые из одной теории в другую. Этого достаточно, чтобы рассматривать теорию тахионов не столько как принципиально новую теорию движения в пространстве-времени, сколько как концептуально дополняющую СТО до полного описания всего пространственно-временного многообразия. Во-первых, в обеих теориях при приближении скорости к скорости света все неинвариантные физические величины стремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Во-вторых, из совместного анализа кинематики СТО и кинематики тахионов можно сделать заключение, что пространственно-временная область двух миров – вещественного и тахионного – для конкретного совмещенного наблюдателя разделена световым конусом. Они не пересекаются ни в прошлом, ни в будущем, за исключением “точки”, характеризующей состояние “настоящее”. Тахионный наблюдатель не может непосредственно влиять на прошлое своего вещественного двойника. Справедлива и обратная ситуация. Для вещественного наблюдателя, не входя в противоречие с кинематикой СТО, существует, по-видимому, единственная возможность взаимодействовать с тахионным двойником, находящимся в трансцендентном состоянии (
V = Ґ ). Оба мира являются дополнительными друг к другу. Эквивалентом покоящейся в пространстве системы отсчета (v = 0 ) в СТО является тахионная система отсчета, покоящаяся во времени (V = Ґ ).
ПРИМЕЧАНИЯ
1. Реками Э. Теория относительности и ее обобщение // Астрофизика, кванты и теория относительности. М., Мир, 1982, С. 53; Философские проблемы гипотезы сверхсветовых скоростей. М., 1986.
2. Корухов В.В. О природе фундаментальных констант // Методологические основы разработки и реализации комплексной программы развития региона. Новосибирск, 1988. С. 59.
*) Проблема причинности в данной работе решена неправильно. Правильное решение проблемы причинности можно найти в работе Корухов В.В., Наберухин Ю.И. “Сверхсветовые явления и пространственно-временные отношения в тахионных мирах” // Философия науки. № 1(1). 1995. С.58 – 64.
Институт философии и права СО РАН
Новосибирск