dx(t) / dt
- cl * x(t-Tl) * y(t-T2) - c2 * x(t-T3),
dy(t) / dt = c3 * y(t-T4) * x(t-T5) - c4 * y(t-T6),
dy(t) / dt = c3 * y(t-T4) * x(t-T5) - c4 * y(t-T6),
(1)
МОДЕЛИРОВАНИЕ САМООРГАНИЗАЦИИ
ДВУХ НАУЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИОННОСТИ ИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Измайлов И. В., Пойзнер Б. Н., Раводин В. О.
Томский государственный университет
Предлагается модель самоорганизации двух научных направлений Х и Y, отличающаяся от модели В В. Качака и Е. С. Мчедловой [1] учетом инерционности восприимчивости научных сообществ к появлению новых результатов х, у (количество статей, научных сотрудников, число эффективных связей между учеными в различных областях науки):
|
|
dx(t) / dt
- cl * x(t-Tl) * y(t-T2) - c2 * x(t-T3),
dy(t) / dt = c3 * y(t-T4) * x(t-T5) - c4 * y(t-T6), |
(1)
|
где обозначены времена, необходимые первому сообществу для усвоения:
собственных результатов (ТЗ); собственных результатов, стыкования с результатами
второго сообщества (Т I); результатов второго сообщества, стыкования с собственными
результатами (Т2). Времена Т6, Т4 и Т5 имеют аналогичный смысл для второго
сообщества.
Рассмотрим простейший случай равенства
всех Т. В качестве начальных условий возьмем x(t) == хО, y(t) = уО, -Т < t <
0. Тогда можно аналитически найти функции х, у на любом из отрезков n*Т" t <
(n+1) * Т (n >= 0, целое). Причем x(t), y(t) порогово усложняются с ростом
n и являются полиномами. На отрезках n * Т
При возникновении х < 0 (у < 0) в
расчетах полагались характеристики продуктивности х =(у = 0). В качестве системы
тестовых задач рассматривались ситуации, изученные в [I].
I. Когда оба направления развиваются,
причем Х отрицательно влияет на Y, Y положительно влияет на Х (cl = 1, c2 =
сЗ = c4 = -1), имеют место следующие особенности максимум у наступает при t
> = Т. При x(t - Т) = 1 dy(t)/dt меняет знак и существует максимум y(t).
1) хО < 1. Поскольку рост х отрицательно
влияет на у, то с ростом Т на у влияют более низкие значения х. Поэтому для
подавления у требуется больше времени и у успевает достигнуть более высокого
максимума.
2) хО > 1. В силу (1) у убывает и
существует тривиальный единственный максимум: ушах =у0 Причем, достигнув 0,
у не может "появиться" вновь. Если случай 1) рассматривать с некоторого момента
td, причем x(td - Т) > 1, то динамика х и у аналогична случаю 2), Вывод об исчезновении
у справедлив и для случая 1).
II. Случай, когда развивающиеся направления
Х и Y конкурируют (cl = c2 = сЗ = c4 = -1).
1) При начальных условиях хО = уО
возникает бифуркация "устойчивый узел - устойчивый фокус", если графики х,
у пересекут прямую х = 1 (у = 1). Пороговое значение Тпор есть функция от начальных
условий. При хО -> к бесконечности Тпор -> 0, при хО -> 0 или 1 Тпор-> к бесконечности.
2) При начальных условиях х0<>у0
возможны несколько случаев.
а) уО < хО < 1. Здесь при увеличении
Т имеются противоречивые тенденции: с одной стороны, рост x(t) и y(t) замедляется
из-за того, что на него на отрезке 0 < t < Т влияют более низкие значения x(t
- Т) и y(t - Т). С другой - рост усиливается, так как величины 1 - x(t - Т)
и 1 -y(t - Т) больше, чем 1 - x(t) и 1 - y(t) (случай когда Т - 0). Сообщество
с лучшими стартовыми условиями развивается быстрее. Если у достигнет 0, то сообщество
Y не сможет вновь развиться.
б) 1 < уО < хО. Вычислительный эксперимент
показывает, что, как и в случае Т = 0. выживает в итоге то направление, величина
начального условия которого больше. Оно подавит другое, слабо развивающееся
сообщество, но изменится вид перехода к развязке.
III. Случай, когда Х и Y - "затухающие"
направления, чье взаимное влияние положительно (с1=с2=с3=с4= 1).
1) х0, уО < 1. Малые начальные условия
приводят к деградации обоих сообществ.
2) хО, уО > 1. Начальные условия
велики, и корпоративный эффект приводит к совместному развитию.
3) у0 < 1 < х0. При Т = 0 х, у сближаются
и в зависимости от хО, уО или вместе деградируют, или развиваются. Зафиксируем
хО.
а) У 0 < уОпор: взаимодействие приводит
к упадку. Достижение значения x(t-T) o= 1 обеспечивает максимум y(t) в момент
tmax >=T. При увеличении Т происходит цепь модификаций динамики макропеременных.
б) уО > уОпор: оба направления совместно
развиваются. Достижение значения y(t-T) 1 доставляет минимум x(t).
Если у примерно равно у Опор, то
небольшое запаздывание (Т/с2== 0.02) приводит к упадку обоих сообществ, т.
е. наличие Т повышает уОпор, при котором возможно развитие. Дальнейшее увеличение
Т вызывает эффекты, аналогичные случаю а).
Если уО значительно превышает уОпор
(например, уО - уОпор ==0.1, х0 = 2), то введение Т сначала порождает немонотонность
развития и лишь потом влечет деградацию. После обращения х или у в 0 возможно
временное повторное их появление. Как и в случае а), увеличение Т позволяет
у прожить дольше, чем х..
Таким образом, для проявления корпоративного
эффекта необходима быстрая реакция обоих сообществ на новые результаты.
IV. Случай, когда Х - "затухающее"
направление, a Y - развивающееся с положительной обратной связью (с1 = с2 =
сЗ = 1, с4 = - 1). Достижение значения y(t - Т) ^ 1 соответствует точке локального
минимума x(t), т. к. у монотонно возрастает.
1) уО < 1. Моделирование показывает:
существует такое Т, что х обращается в 0, а затем вновь появляется и за счет
влияния y(t- Т) оба сообщества развиваются. Начиная с некоторых значений Т,
однажды исчезнув, х не может появиться вновь. То есть запаздывание разрушает
зависимое сообщество.
2) уО >= 1. Имеется тривиальный минимум
xmin = х() (х не убывает), и ни при каких Т х не обращается в 0.
В случаях 1) и 2) чем хО ближе к
0 (при достаточной малости уО), тем длительнее фаза эволюции х, когда он слабо
изменяется (область значений t, прилежащая к xmin),
V. Случай, когда "затухающее" направление
Х отрицательно воздействует на прогрессирующее направление Y, положительно
влияющее на Х (с1 == с2 - 1, сЗ - с4 = -1).
Значение y(t - Т) = 1 доставляет
экстремум x(t), a x(t - Т) -- I - экстремум y(t). При Т - О устанавливаются
строго периодические колебания. Точка (х,у) == (1,1) есть особая точка типа
центр. Как известно, малейшие шумовые воздействия приводят к изменению амплитуды
и формы колебаний, нарушая строгую периодичность. По всей видимости, введение
запаздывания (Т о 0) эквивалентно наличию некоторого шумового воздействия и
приводит к бифуркации "устойчивый центр - неустойчивый фокус".
Итак, выполненные вычислительные
эксперименты свидетельствуют о необходимости учета запаздывания в моделях социосинергетики.
Литература