АППАРАТ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ ДЛЯ ФОРМАЛИЗАЦИИ
ОПИСАНИЯ ВЗАИМООТНОШЕНИЙ В СОЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ
Шулепов М.А., Шульга Д.А.
Томский государственный университет
Авторы
видели свою цель в том, чтобы исследовать возможность строго формализованного
описания распространённых отношений между индивидами в социальной системе.
Взаимоотношения между людьми или
группами людей моделируются посредством бинарного (двойственного) отношения
в алгебре, то есть с базовым социальным отношением сопоставляется математическая
абстракция - некоторое бинарное отношение1. Тем самым для исследования
общественных взаимоотношений используется аппарат общей алгебры - раздела математики,
предметной областью которого, в частности, являются множества с совокупностью
определенных на них отношений.
Применим идею описания общественного
отношения бинарным "математическим" отношением к отношению субординации, то
есть объектом нашего внимания будет отношение "быть начальником" или "быть
подчиненным". Здесь следует вообразить идеальную социальную систему, охваченную
только этим отношением: каждый кому-то подчиняется и кем-то руководит и для
любых двух членов этого общества всегда можно указать их общего начальника (подчиненного).
Чтобы яснее понимать дальнейшие рассуждения,
сделаем небольшое отступление, обратившись к основам общей алгебры.
Понятие множества является первичным,
неопределяемым понятием, так же как и принадлежность к множеству. Под множеством
понимается любая совокупность, набор некоторых объектов некоторой природы. Последние
называются элементами множества, и тот факт, что элемент а принадлежит множеству
А, фиксируется записью: аОА, иначе аПА
[1, с. II]. Как правило, множества обозначаются заглавными буквами греческого
или латинского алфавита, и все его элементы заключаются в фигурные скобки: А={а,
Ь, с,...}. Зафиксировать некоторое множество можно и путем наложения на все
его элементы некоторого свойства. В записи это отражается символом вертикальной
черты (либо двоеточия), слева от которого ставится символическое обозначение
элемента множества, а справа - записывается свойство всех элементов данного
множества, скажем, В={х[Р(х)}, Р(х) - свойство х; Например, пусть А={Пн,Вт,Ср,Чт,Пт,Сб,Вс}
- множество дней недели, а В={а | аОА и а- будние},
тогда В={Пн,Вт,Ср,Чт,Пт,Сб}.
Если любой элемент из множества А
также принадлежит и множеству В, то А называется подмножеством множества В,
и записывается как АНВ. Декартово произведение множеств
А и В (записывается как А х В) есть множество пар (а,Ь) таких, что аОА
и bОВ, т.е. А х В={(а,Ь) | аОА
и bОВ }. Запись Ах А х .... х А (п раз) тождественна
записи А" и называется декартовым произведением п-ой степени множества А. В
алгебре под отношением на некотором множестве А понимается подмножество декартового
(прямого) произведения n-ой степени этого множества [1, с. 15], т.е. a Н
Аn, a- n-арное отношение на А. В случае,
если n=2, то a называется бинарным отношением.
Если же n=1, то отношение а является унарным отношением на А и называется свойством.
Отношение "начальник-подчиненный",
очевидно, является бинарным отношением. Обозначим его как а, а множество людей,
на котором определено a, через А; тогда a Н
А2 В алгебре широко применяется символ <=> который читается
как "тогда и только тогда" или "если и только если". Пусть а, bОА,
(а,Ь) Оa <=> а является подчиненным b. Запись (а,b)
Оa тождественна записи aab и произносится как "а
лежит в отношении a с b". Теперь, когда зафиксировано
некоторое множество и определено на нем некоторое отношение, можно говорить,
что зафиксирована некоторая модель (А, a). Моделью
считается множество с совокупностью отношений на нем [3, с.47].
Так как а конкретизировано, то попробуем
выявить его некоторые свойства. Ясно, что каждый человек является, в известном
смысле, и собственным начальником, и подчиненным. На формальном языке этот
факт выражается следующим образом: "aОA(aaa).
Символ " понимается как "любой", "каждый" и вся последовательность
символов "aОA(aaa)
читается следующим образом: "для любого элемента а из множества А справедливо
утверждать, что он лежит в отношении a с самим собой". Это свойство отношения
называется рефлексивностью [1,с,23].
Также очевидно, что если а - подчиненный
b и b - подчиненный а, или, что тоже самое, b - начальник а и а есть начальник
b, то а и b есть одно и то же лицо. Иными словами, "a,bОA
(aab и baa => a=b). Последнее
свойство отношения в алгебре называют антисимметричностью [1, C.23]. Символ
=> произносится как "следует" или "означает".
Справедливо утверждать, что если
а является подчиненным b и b есть подчиненный с, то а - подчиненный с. Выразим
это формально: "a,b,cОA
(aab и bac => aac).
Такое свойство отношения называется транзитивностью [1, с.23].
Отношение, обладающее свойством рефлексивности,
антисимметричности и транзитивности, называется отношением частичного порядка
[1, с.35] и обозначается символом <. Множество же, на котором задано некоторое
отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным множеством.
Таким образом, тот факт, что а является подчиненным b, отражается записью аЈb.
Поскольку рассматривается идеальный случай -общество, охваченное только отношением
"начальник-подчиненный", и для любых двух людей из него всегда можно указать
их общего начальника (подчиненного), то введем в рассмотрение операцию [1,
с. 66] + (o) следующим образом: a+b==sup{a,b} (aob=inf{a,b})2
[1, с.49]. Супремум (инфинум) частично упорядоченного множества - это наименьшая
верхняя (наибольшая нижняя) грань, а верхняя (нижняя) грань - элемент t этого
множества, такой, что для любого элемента х этого множества верно: xЈt
(tЈx). Результатом применения операции + (o)
для двух людей будет их общий начальник (подчиненный), причем ближайший общий
начальник (подчиненный). Это следует из определения супремума (инфинума).
С учетом введенных понятий нашу алгебраическую
систему можно обозначить через (А,+, Ј). Алгебраическая
система - это множество с совокупностью операций и отношений на нем [3, с.46].
Читателю ясно, что модель - частный случай алгебраической системы. Эта система
есть не что иное, как верхняя (нижняя) полурешётка. По определению, верхняя
(нижняя) полурешетка - это конечное, частично упорядоченное множество такое,
что каждая пара элементов из него имеет точную верхнюю (нижнюю) грань - супремум
(инфинум) [2, с. 192]). Теория решеток является одним из разделов общей алгебры.
В настоящее время решетки достаточно подробно исследованы, и ничто не препятствует
использовать эту теорию применительно к данной полурешетке, в которой элементами
являются люди, а отношением частичного порядка - отношение субординации между
ними.
Иными словами, общество, все представители
которого являются начальниками или подчиненными, адекватно моделируется соответствующей
этому обществу полурешеткой. Вероятно, читатель уже отметил тот факт, что в
действительности обществ с отношением субординации, моделируемых нижними полурешетками,
не существует. Их можно только воображать, в то время как армия или кадровая
структура некоторой организации вполне описывается верхней полурешеткой. Если
же рассматривать общество, также охваченное отношением порядка, но не требовать,
что бы для любых двух его членов всегда нашелся их общий начальник или подчиненный,
то при сопоставлении понятия субординации с понятием отношения (в математическом
смысле) получим в общем случае некоторую модель, причём не обязательно полурешетку.
Несомненно, что подобный подход пригоден не только для отношения субординации,
но и для любых других отношений в социуме.
Что же касается описания общественных
взаимоотношений в динамике, то здесь выделяется следующая позиция: под изменением
бинарного отношения aН А2 с момента t1
до момента t2 понимается множество da/dt
всех тех пар из А2 , которые либо вошли в a
за этот промежуток времени, либо вышли из него, т.е. da/dt=[
a( t2)- a( t1)]И
[a( t1) -a(
t2)], где a(t1) - отношение
а в момент t1, a(t2) - отношение
a в момент t2, первое объединяемое есть множество тех пар, которые
с момента t1 до момента t2 вошли в отношение a, а второе
-множество пар вышедших из него.
Справедливо утверждать, что предложенное
выше описание отношения субординации в социальной системе имеет бесспорное
преимущество сравнительно с уже имеющимися моделями благодаря строгости формализованного
представления взаимоотношений в социальной системе. Недостатком описания является
его сильная идеализированность подобных моделей.
Можно показать, что отношение "быть другом" (в идеальном представлении о понятии
дружбы) обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.
То есть справедливо утверждать, что это есть отношение эквивалентности [1, с.23].
Очевидно, что обществу с имеющим место отношением дружбы соответствует некоторая
модель с вышеуказанными свойствами этого отношения. В силу того, что любая модель
является частным случаем алгебраической системы, такая модель, естественно,
"обязана подчиняться" всем тем выводам теории алгебраических систем, которые
непосредственно касаются моделей.
Можно показать, что отношение "быть
кровным родственником" также обладает свойством рефлексивности и симметричности,
но не обладает свойством транзитивности (например, в традиционном браке мать
родственник сыну и сын родственник отца, но мать не кровный родственник отца
своего сына). Отношение формального родства будет обладать свойством транзитивности,
а значит, будет эквивалентностью. Таким образом, отношение "быть кровным родственником"
является толерантностью (толерантность - рефлексивное и симметричное отношение),
а отношение "быть родственником" является эквивалентностью
Можно также ввести и некоторые операции
на социальной системе, в котором определено отношение родства, например операцию,
применив которую к человеку А, получим В, причем В является матерью А; или
операцию, применив которую к любым двум людям из рассматриваемого общества,
получим их общего кровного родственника, и т.д. Таким образом, также как и в
предыдущих случаях, с обществом, в котором "господствует" отношение родства,
можно сопоставить некоторую алгебраическую систему.
Диаграмма на рисунке наглядно представляет
структуру связей между вышерассмотренными взаимоотношениями в социуме и комбинациями
свойств бинарных отношений в общей алгебре,
Вывод: адекватное описание рассмотренных
выше общественных взаимоотношений средствами общей алгебры возможно и достигается
благодаря отождествлению абстрактных математических понятий с соответствующими
реалиями в социальной системе, а именно: множество - с обществом, бинарное отношение
- с взаимоотношениями между людьми или группами людей, алгебраическая операция
- с актом сопоставления одного человека (или группы людей) с некоторым человеком
(или группой людей), обладающим заданным свойством.
Литература