Математика (греч. — знание, наука) — наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

“Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть — весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира. Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто безразличное” (Э н г е л ь с Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 37). Абстрактность М., однако, не означает её отрыва от материальной действительности. В неразрывной связи с запросами техники и естествознания запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., непрерывно расширяется, так что данное выше определение М. наполняется всё более богатым содержанием.

Типичным примером полного господства математич. метода является небесная механика, в частности учение о движении планет. Имеющий очень простое математич. выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. За исключением теории движения Луны, законно, в пределах доступной нам точности наблюдений, пренебрежение формой и размерами небесных тел — замена их “материальными точками”. Но решение возникающей здесь задачи движения п материальных точек под действием сил тяготения уже в случае n==3 представляет колоссальные трудности. Зато каждый результат, полученный при помощи математич. анализа принятой схемы явления, с огромной точностью осуществляется в действительности: логически очень простая схема хорошо отражает избранный круг явлений, и все трудности заключаются в извлечении математических следствий из принятой схемы.

Математика в техника. Начала арифметики и элементарной геометрии, как будет видно из историч. очерка, возникли из непосредственных запросов практики; дальнейшее формирование новых математич. методов и идей происходит под влиянием опирающегося в своём развитии на запросы практики математич. естествознания (астрономии, механики, физики и т. д.). Прямые же связи М. с техникой чаще имеют характер применения уже созданных математич. теорий к технич. проблемам. Укажем, однако, примеры возникновения новых общих математич. теорий на основе непосредственных запросов техники. Создание метода наименьших квадратов связано с геодезич. работами; изучение многих новых типов дифференциальных уравнений с частными производными впервые было начато с решения технич. проблем; операторные методы решения дифференциальных уравнений были развиты в связи с электротехникой и т. д. Из запросов электротехники возник новый раздел теории вероятностей — теория информации. Задачи синтеза управляющих систем привели к развитию новых разделов математич. логики. Наряду с нуждами астрономии решающую роль в развитии методов приближённого решения дифференциальных уравнений играли технич. задачи. Целиком на технич. почве были созданы многие методы приближённого решения дифференциальных уравнений с частными производными и интегральных уравнений. Задача быстрого фактич. получения численных решений приобретает большую остроту с усложнением технич. проблем. В связи с возможностями, к-рые открыли ЭВМ для решения практич. задач, всё большее значение приобретают численные методы. Высокий уровень теоретич. М. дал возможность быстро развить методы вычислительной математики. Вычислительная М. сыграла большую роль в решении ряда крупнейших практич. проблем, включая проблемы использования атомной энергии и космич. исследования.

В предлагаемой далее периодизации истории М. даётся только её глобальная характеристика, относящаяся на ранних стадиях к Европе, Азии и Северной Африке и не учитывающая ни региональные особенности, иногда довольно существенные, ни частое отсутствие синхронности прогресса математич. знаний в различных регионах и странах.

Ясное понимание самостоятельного положения М. как особой науки, имеющей собственный предмет и метод, стало возможным только после накопления достаточно большого фактич. материала и возникло впервые в Др. Греции в 6—5 вв. до н. э. Развитие М. до этого времени естественно отнести к периоду зарождения математик и, а к 6—5 вв. до н. э. приурочить начало периода элементарной математики, продолжавшегося до 16 в. В течение этих двух первых периодов математич. исследования имеют дело преимущественно с весьма ограниченным запасом основных понятий, возникших ещё на очень ранних ступенях историч. развития в связи с самыми простыми запросами хозяйственной жизни, сводившимися к счёту предметов, измерению количества продуктов, площадей земельных участков, определению размеров отдельных частей архитектурных сооружений, измерению времени, коммерческим расчётам, навигации и т. п. Первые задачи механики и физики за исключением отдельных исследований Архимеда (3 в. до н. э.), требовавших уже начатков исчисления бесконечно малых, могли ещё удовлетворяться этим же запасом основных математич. понятий. Единственной наукой, к-рая задолго до широкого развития математич. изучения явлений природы в 17—18 вв. систематически предъявляла М. свои особые и очень большие требования, была астрономия, целиком обусловившая, напр., раннее развитие тригонометрии.

Эта глобальная характеристика четырёх основных периодов будет дополнена в последующем изложении.

Счёт предметов на самых ранних ступенях развития культуры привёл к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приёмы выполнения над натуральными числами четырёх арифметич. действий (из к-рых только деление ещё долго представляло большие трудности). Потребности измерения (количества зерна, длины дороги и т. п.) приводят к появлению названий и обозначений простейших дробных чисел и к разработке приёмов выполнения арифметич. действий над дробями. Таким образом накапливался материал, складывающийся постепенно в древнейшую математич. науку — арифметику. Измерение площадей и объёмов, потребности строительной техники, а несколько позднее — астрономии, вызывают развитие начатков геометрии. Эти процессы шли у многих народов в значительной мере независимо и параллельно. Особенное значение для дальнейшего развития науки имело накопление арифметич. и геометрич. знаний в Др. Египте и Вавилоне. В Вавилоне на основе развитой техники арифметич. вычислений появились также начатки алгебры, а в связи с запросами астрономии ^^ начатки тригонометрии.

Египет. Сохранившиеся древнейшие математические тексты Др. Египта, относящиеся к нач. 2-го тыс. до н. э., состоят по преимуществу из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения, к-рые иногда удаётся понять, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах;

эти решения часто сопровождаются проверкой ответа. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич. теория в смысле системы взаимосвязанных и, вообще говоря, так или иначе доказываемых общих теорем, видимо, вовсе не существовала. Об этом свидетельствует, напр., то, что точные решения употреблялись без всякого отличия от приближённых. Тем не менее самый запас установленных математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. По папирусам 1-й пол. 2-го тыс. до н. э. состояние египетской М. того времени может быть охарактеризовано в следующих чертах. Преодолев трудности действий с целыми числами на основе непозиционной десятичной системы счисления, понятной из примера

Правила вычисления площади круга и объёмов цилиндра и конуса соответствуют иногда грубо приближённому значению числа пи=3. иногда же значительно более точному

Наличие правила вычисления объёма усечённой пирамиды, указания, как вычислить, напр., площадь равнобочной трапеции с помощью её преобразования в равновеликий прямоугольник, и ряд других обстоятельств свидетельствуют о том, что в египетской М. уже намечалось формирование математического дедуктивного мышления. Сами древние папирусы имели учебное назначение и не отражали в полной мере суммы знаний и методов египетских математиков

См. также Папирусы.

Существует предположение, что такие более отвлечённые научные интересы, не ограничивающиеся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводившие к созданию общих алгебраич. методов решения задач, возникли в “школах писцов”, где ученики готовились к счётно-хозяйственной деятельности. Тексты такого рода позднее исчезают. Зато дальше развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в 1-м тыс. до н. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в к-рых можно видеть прообраз идеи функции. Вавилонская клинописная математич. традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в эллинистич. эпоху вплоть до 1 в. до н. э. Из достижений вавилонской М. в области геометрии, выходящих за пределы познаний египтян, следует отметить разработанное измерение углов и нек-рые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии; позднее в клинописных текстах появляются нек-рые правильные многоугольники, вписанные в круг.

См. также Клинописные математические тексты.

Создание алгебры как буквенного исчисления завершается лишь в конце рассматриваемого двухтысячелетнего периода. Специальные обозначения для неизвестных появляются у Диофанта (вероятно, 3 в.) и более систематически — в Индии в 7 в., но обозначение буквами коэффициентов уравнения введено только в 16 в. Ф. Виетом.

Развитие геодезии и астрономии рано приводит к детальной разработке тригонометрии, как плоской, так и сферической.

Период элементарной М. заканчивается (в Зап. Европе в нач. 17 в.), когда центр тяжести математич. интересов переносится в область М. переменных величин. Естественно, что этот переход был подготовлен предшествующим развитием М. Ещё в М. древнего мира на материале изучения тригонометрич. функций и при составлении их таблиц формируются представления о функциональной зависимости. Но, напр., представление об угловом аргументе, изменяющемся от 0 до + °°, и тригонометрич. функциях от такого аргумента возникает только в 16 в. (у Ф. Виета). Греч. натурфилософы и математики начиная с 7—6 вв. и вплоть до 3 в. до н. э. подходят к идее бесконечности и затем к приёмам анализа бесконечно малых, но это течение не получает развития; интерес к нему после попыток целого ряда средневековых учёных возобновляется лишь в эпоху

Возрождения в кон. 16 в. Таким образом,; весь период до 17 в. остаётся в основном периодом элементарной М.

Начало рассматриваемого периода развития М. (греческая, эллинистическая и римская М.) относится к эпохе рабовладельч. общества, вторая же половина —- к эпохе феодального (в Китае, Индии, Средней Азии, на Ближнем Востоке и в Зап. Европе); впрочем, как известно, феодализм в разных регионах приобретает существенно различные формы и развивается неравномерно (сказанное относится и к рабовладению). После бурного расцвета греч. и эллинистич. М. в условиях краха Римской империи приходит к окончательному упадку. В средние века в странах Востока с их большими гидротехнич. сооружениями, развитием мировых торговых центров, возросшими потребностями в крупных геодезич. работах и более практич. тенденциями чиновничьей бюрократии, тесно сращивающейся с купечеством, особенное развитие получает вычислительная сторона М.

В конце рассматриваемого периода на темпы роста западноевропейской М. оказывает влияние процесс зарождения в недрах феодализма нового буржуазного общества. В эпоху Возрождения (15—16 вв.) быстро возрастают запросы к М. со стороны инженеров, строителей, художников, военных, мореплавателей и географов. Вместе с тем создание в университетах возможности более свободной научной критики и научной конкуренции стимулирует решение трудных, казавшихся ранее неразрешимыми задач и более смелое развитие теории.

Древняя Греция. Развитие М. в Др. Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной техники, искусства решения задач алгебраич. характера и разработки математич. средств астрономии лишь в эллинистич. эпоху был достигнут и превзойдён уровень вавилонской М., то уже с 7—6 вв. до н. э. М. в Др. Греции вступила в совершенно новый этап логич. развития. Появилась потребность в отчётливых математич. доказательствах, были сделаны первые попытки систематич. построения математич. теории. М., как и всё научное и художественное творчество, перестала быть безличной, какой она была в странах Древнего Востока; она создаётся теперь известными по именам математиками, оставившими после себя математич. сочинения (дошедшие до нас лишь в отрывках, сохранённых позднейшими комментаторами). Это изменение характера математич. науки объясняется более развитой общественно-политической и культурной жизнью греч. государств,, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к необходимости отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. Возникновение независимой от религии философской мысли привело к потребности в рациональном объяснении явлений природы, что поставило перед М. новые задачи.

Принципиально новым шагом вперёд явилось возникновение в натурфилософских школах G—5 вв. до н. э. идеи бесконечности, в различных формах получившей применения в М. На границе 5 и 4 вв. до н. э. Демокрит, исходя из атомистич. представлений, создаёт способ определения объёмов, послуживший первым вариантом неделимых метода, одного из исходных пунктов исчисления бесконечно малых. Однако логич. трудности, присущие понятиям бесконечности н нашедшие выражение в апориях Зенона Элейского (5 в. до н. э.), привели к заключению, что результаты, полученные с помощью метода неделимых, нельзя считать строго доказанными. Стандартным приёмом измерения различных площадей п объёмов, не поддающихся определению элементарными средствами, стал исчерпывания метод, состоящий в приближении искомой величины сходящимися к ней снизу и сверху последовательностями известных величин. Так, площадь круга аппроксимировалась последовательностями вписанных и описанных правильных многоугольников с неограниченно возрастающим числом неограниченно уменьшающихся сторон. Возможно, что толчок в этом направлении сообщили первые попытки решить задачу квадратуры круга, вписывая в него правильные многоугольники, получающиеся из вписанного треугольника или квадрата с помощью удвоения сторон: для каждого такого многоугольника можно построить равновеликий квадрат с помощью циркуля и линейки. Рассматривая круг как многоугольник с бесконечным числом сторон философ Антифонт (5 в. до н. э.) сделал вывод, что можно построить с помощью тех же средств п квадрат, равновеликий кругу. Некорректность такого умозаключения была вскоре установлена.

Наиболее значительным конкретным достижением математиков 4 в. до н. э. можно считать связанные с тенденцией к логич. анализу основ геометрии исследования Евдокса Книдского, разработавшего общую теорию пропорций и давшего первое доказательство теоремы об объёме пирамиды, удовлетворявшее возросшим требованиям к строгости математич. выводов. По поводу этого доказательства им было сформулировано общее допущение (называемое часто аксиомой Архимеда), лежащее в основе метода исчерпывания, представляющего собой, по существу, раннюю форму теории пределов. В стороне от главного течения М. в 4 в. до н. э. следует отметить начало математич. разработки механики у Архнта Тарептского — полководца и автора одного из решений задачи об удвоении куба.

Эллинистическая п римская эпоха. С 3 в. до н. э. на протяжении семи столетий основным центром научных и особенно математич. исследований являлась Александрия. Здесь в обстановке объединения различных мировых культур, больших строительных задач и невиданного ранее по своей широте государственного покровительства науке греч. М. достигла своего высшего расцвета. Несмотря на распространение греч. образованности и научных интересов во всём эллйнистич. и римском мире, Александрия с её “музеем”, являвшимся первым научно-псследоватольским институтом в современном смысле слова, и библиотеками обладала столь большой притягательной силой, что почти все крупнейшие учёные стекались сюда. Из упоминающихся ниже математиков лишь Архимед остался верным родным Сиракузам. Наибольшей напряжённостью математич. творчества отличается первый век александрийской эпохи (3 в. до н. э.). Этому веку принадлежат Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний Пергский.

В своих “Началах” Евклид собрал и подверг окончательной логич. переработке достижения предыдущего периода в области геометрии (см. “Начала” Евклида). Вместе с тем в “Началах” же Евклид впервые заложил основы систематич. теории чисел, доказав бесконечность ряда простых чисел и построив законченную теорию делимости. Наконец, “Начала” содержат во второй, шестой и десятой книгах своеобразную геометрич. замену алгебры, позволившую в геометрич. форме не только решать квадратные уравнения, но и производить сложные преобразования квадратичных иррациональных выражений. В стиле этой же “геометрической алгебры” Архимед сформулировал и доказал теорему о сумме квадратов членов арифметич. прогрессии. Из геометрич. работ, не вошедших в “Начала”, наибольшее значение для дальнейшего развития М. имело создание Аполлонием Пергским законченной теории конич. сечений. Основной заслугой Архимеда в геометрии явилось определение разнообразных площадей и объёмов (в т. ч. площадей параболич. сегмента и поверхности шара, объёмов шара, шарового сегмента, сегмента параболоида и т. д.) и центров тяжести (напр., шарового сегмента и сегмента параболоида); архимедова спираль является лишь одним из примеров изучавшихся в 3 в. до н. э. трансцендентных кривых. В ряде случаев вычисления Архимеда равносильны применению интегральных сумм Дарбу и отысканию их пределов; наряду с интеграционными приёмами у него имеются и зачатки дифференциальных методов, применённые при построении касательной к носящей его имя спирали. После Архимеда, хотя и продолжался рост объёма научных знаний, александрийская наука уже не достигала прежней цельности и глубины. В астрономии это выразилось в том, что, несмотря на возросшую точность наблюдений и усовершенствования математич. аппарата, вполне усвоенные лучшими умами предшествующих поколений идеи Аристарха Самосского (конец 4 в.— 1-я пол. 3 в. до н. э.) о движении Земли вокруг Солнца и о расстояниях до неподвижных звёзд были отвергнуты и на долгие века утвердилась геоцентрич. система конечной вселенной, подробно изложенная в “Альмагесте” Птолемея (1—2 вв.). В М. зачатки анализа бесконечно малых, содержащиеся в эвристич. приёмах Архимеда (сообщённых им в специальном сочинении “О методе” с указанием на их нестрогость; в окончательном изложении он считал нужным заменять их методом исчерпывания), не получили дальнейшего серьёзного развития.

Существенным недостатком всей М. древнего мира было отсутствие окончательно сформированного понятия иррационального числа. Это обстоятельство привело влиятельных философов 4 в. до н. э. (как, напр., Аристотеля) к полному отрицанию законности применения арифметики к изучению геометрич. величин. В действительности, в общей теории пропорций Евдокса и в методе исчерпывания математикам 4 и 3 вв. до н. э. всё же удалось косвенным образом осуществить это применение арифметики к геометрии. Ближайшие века принесли не положительное разрешение проблемы путём создания фундаментального нового понятия (иррационального числа), а постепенное её забвение, ставшее возможным с постепенной утратой представлений о математич. строгости. На этом этапе истории М. временный отказ от математич. строгости оказался, однако, полезным, открыв возможность беспрепятственного развития алгебры, допускавшейся в рамках строгих концепций евклидовых “Начал” лишь н чрезвычайно стеснительной форме “геометрической алгебры” отрезков, площадей и объёмов.

Значительные успехи в этом направлении можно отметить в “Метрике” Герона Александрийского (вероятно, 1 в.), известного своими работами по геодезии, составившими основу грандиозной практич. деятельности римских геодезистои. Это замечательное сочинение, являющееся первым дошедшим до нас самостоятельным изложением приёмов вычислительной геометрии, содержит, между прочим, т. н. формулу Герона (известную, впрочем, ещё Архимеду)

В области чистой М. деятельность учёных последних веков древнего мира (кроме Диофанта) всё более сосредоточивается на комментировании старых авторов. Труды учёных-комментаторов этого времени [Паппа (3 в.), Прокла (5 в.) и др.], при всей их универсальности, не могли в обстановке упадка античного мира привести к объединению изолированно развивавшихся алгебры Диофанта,;

включённой в астрономию тригонометрии, и откровенно нестрогой вычислительной геометрии Герона в единую, способную к большому развитию науку.

Особенно замечательны работы китайцев по численному решению уравнений. Геометрич. задачи, приводящие к уравнениям третьей степени, впервые встречаются у астронома и математика Ван Сяотуна (7 в.). Изложение методов решения уравнений четвёртой и высших степеней было дано в работах математикой 13-14 вв. Цзинь Цзюшао, Ли Е, Ян Хуэя и Чжу Шицзе.

Средняя Азия и Ближний Восток. Арабские завоевания и кратковременное объединение огромных территорий под властью арабских халифов привели к тому, что в течение 9—15 вв. учёные Ср. Азии, Бл. Востока, Сев. Африки и Пиренейского п-ова пользовались гл. обр. арабским языком. Наука здесь развивается в мировых торговых городах, в обстановке широкого международного общения и государственной поддержки больших научных начинаний. Блестящим завершением этой эпохи явилась в 15 в. деятельность Улугбека, к-рый при своем дворе в обсерватории в Самарканде собрал более ста учёных и организовал долго остававшиеся непревзойдёнными по точности астрономич. наблюдения, вычисление математич. таблиц и т. п.

В истории науки длительное время господствовало мнение, что роль “арабской культуры” в области М. сводится в основном к сохранению и передаче математикам Зап. Европы математич. открытий древнего мира н Индии. (Так, сочинения греч. математиков впервые стали известны в Зап. Европе по арабским переводам.) В действительности вклад математиков, писавших на арабском языке, и, в частности, математиков, живших на территории современной советской Ср. Азии и Кавказа (хорезмийских, узбекских, таджикских, азербайджанских), в развитие науки значительно больше.

Омар Хайям (11—12 вв.) систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Омар Хайям в своём алгебраич. трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени. В этом направлении поиски среднеазиатских математиков не увенчались успехом, но им были хорошо известны как восходящие к греч. М. геометрические (при помощи конич. сечений), так и приближённые численные методы решения. Заимствовав от индийцев десятичную систему счисления с употреблением нуля, математики Ср. Азии и Ел. Востока применяли в больших научных вычислениях по преимуществу шестидесятеричную систему (по-видимому, в связи с шестидесятеричным делением углов в астрономии). На этой основе ими была создана и единая система обозначения шестидесятеричных целых и дробных чисел: запись

Абу-ль-Вефа (10 в.), уже пользовавшийся этой системой, написал сочинение о способах извлечения корней третьей, четвёртой и пятой степеней. Омар Хайям в недошедшем до нас сочинении изложил способы извлечения корней с любым натуральным показателем; позднее их описал Насирэддин Туей (13 в.), сформулировавший словесно формулу бинома Ньютона для натуральных показателей и правило образования биномиальных коэффициентов

В Др. Руси получила распространение сходная с греко-византийской система числовых знаков, основанная на славянском алфавите,—славянская нумерация, к-рая в русской математич. литературе встречается до нач. 18 в., но уже с кон. 16 в. эту нумерацию всё более вытесняет принятая ныне десятичная позиционная система.

Предмет изучения геометрии также существенно расширяется с проникновением в геометрию идей движения и преобразования фигур. Геометрия начинает изучать движение и преобразование сами по себе. Напр., в проективной геометрии одним из основных объектов изучения являются сами проективные преобразования плоскости или пространства. Впрочем, сознательное развитие этих идей относится лишь к кон. 18 в. и нач. 19 в. Гораздо раньше, с созданием н 17 в. аналитической геометрии, принципиально изменилось отношение геометрии к остальной М.: был найден универсальный способ перевода вопросов геометрии на язык алгебры и анализа и решения их чисто алгебраич. и аналитич. методами, ас другой стороны, открылась широкая возможность изображения (иллюстрирования) алгебраич. и аналитич. фактов геометрически, напр. при графич. изображения функциональных зависимостей. Эта обратная возможность была, однако, ограничена трехмерностью пространства. Такое положение привело к склонности рассматривать арифметику, алгебру и анализ с теорией функций как части “чистой” М., определяемой в качестве науки о числах, величинах и зависимостях между изменяющимися величинами, геометрию же считать первой частью (предшествующей, напр., механике) “прикладной” М., применяющей результаты “чистой” М. и вырабатывающей свои методы для специального изучения геометрич. фигур и геометрич. преобразований. На следующем этапе развития такое подчинённое положение геометрии было вновь устранено.

Создание новой М. переменных величин в 17 в. было делом учёных передовых стран Зап. Европы, причём более всего И. Ньютона и Г. Лейбница. В 18 в. одним из основных центров научных математич. исследований становится также Петербургская академия наук, где работает ряд крупнейших математиков того времени иностранного происхождения (Л. Эйлер, Д. Бернулли) и постепенно складывается русская математич. школа, блестяще развернувшая свои исследования в 19 в.

Серьёзные новые математич. проблемы выдвигают перед М. в 17 в. навигация (необходимость усовершенствования часового дела и создания точных хронометров), а также картография, баллистика, гидравлика. Авторы 17 в. понимают и любят подчёркивать большое практич. значение М. Опираясь на свою тесную связь с естествознанием, М. 17 в. смогла подняться на новый этап развития. Новые понятия, не укладывающиеся в старые формально-логич. категории М., получали своё оправдание в соответствии реальным соотношениям действительного мира. Так, напр., реальность понятия производной вытекала из реальности понятия скорости в механике; поэтому вопрос заключался не в том, можно ли логически оправдать это понятие, а лишь в том, как это сделать.

Параллельно развивается учение о бесконечных рядах. Свойства простейших рядов, начиная с геометрич. прогрессий, возникающих из представления обыкновенных дробей в виде периодических десятичных, изучил Дж. Валлис

(1685). Н. Меркатор, интегрируя разложение

и соответственно

Такая точка зрения была вполне естественна для И. Ньютона как создателя математич. естествознания: его исчисление флюксий являлось просто отражением той идеи, что элементарные законы природы выражаются дифференциальными уравнениями, а предсказание хода описываемых этими уравнениями процессов требует их интегрирования. Для Г. Лейбница в центре внимания находился вопрос о переходе от алгебры конечного к алгебре бесконечно малых; интеграл воспринимался прежде всего как сумма бесконечно большого числа бесконечно малых, а основным понятием дифференциального исчислении являлись дифференциалы — бесконечно малые приращения переменных величин (наоборот, И. Ньютон, вводя соответствующее понятие “момента”, стремился в более поздних работах от него освободиться). С публикации работ Г. Лейбница в континентальной Европе начался период интенсивной коллективной работы над дифференциальным и интегральным исчислением, интегрированием дифференциальных уравнений и геометрич. приложениями анализа, в к-рой принимали участие, кроме самого Г. Лейбница, Я. Бернулли, И. Бернулли, Г. Лопиталь и др. Здесь создаётся современный стиль математич. работы, при к-ром полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях или ежегодных “Записках” академий наук и уже очень скоро после опубликования используются в исследованиях других учёных. Очень большую роль в распространении научной информации играет переписка между учёными.

Если виднейшие математики 17 в. очень часто были в то же время философами или физиками-экспериментаторами, притом нередко ^просто любителями М. (как Р. Декарт, П. ферма, Б. Паскаль и др.), то в 18 в. научная работа математика становится самостоятельной профессией. Математики 18 в:— это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математич. способностями, с быстро развивающейся академич. карьерой (Л. Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, в возрасте 20 лет был приглашён адъюнктом в Петерб. академию наук, 23 лет становится там же профессором, 39 лет — председателем физико-математич. класса Берлинской академии наук; Ж. Лагранж— сын французского чиновника, 19 лет — профессор в Турине, 30 лет — председатель физико-математич. класса Берлинской академии наук; П. Лаплас — сын французского крестьянина, 22 лет — профессор военной школы в Париже, 36 лет — член Парижской академии наук). При этом, однако, математич. естествознание (механика, математич. физика) и технич. применения М. остаются и сфере деятельности математиков. Л. Эйлер занимается вопросами кораблестроения и оптики, Ж. Лагранж создаёт основы аналитич. механики, П. Лаплас, считавший себя в основном математиком, также является крупнейшим астрономом и физиком своего времени и т. д.

М. в 18 в. обогатилась многими выдающимися результатами. Благодаря работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и А. Лежандра теория чисел приобретает характер систематич. науки. Ж. Лагранж дал (1769, опубл. в 1771) общее решение неопределённых уравнений второй степени. Л. Эйлер установил (1772, опубл. в 1783) закон взаимности для квадратичных вычетов. Он же привлёк (1737, 1748, 1749) для изучения простых чисел дзета-функцию, чем положил начало аналитич. теории чисел.

В области геометрии Л. Эйлер привёл к завершению систему элементарной аналптич. геометрии. Начиная с И. Ньютона, систематически изучаются кривые третьего порядка. Э. Варинг установил ряд свойств алгебраич. кривых любого порядка. В работах Л. Эйлера, А. Клеро, Г. Монжа и Ж. Менье были заложены основы дифференциальной геометрии пространственных кривых и поверхностей. Проблемы дифференциальной геометрии явились одним из источников упомянутого выше развития теории дифференциальных уравнении г. частными производными. И. Ламберт развил теорию перспективы, а Г. Монж придал окончательную форму начертательной геометрии.

Из приведённого обзора видно, что М. 18 в., основываясь на идеях 17 в., по размаху работы далеко превзошла предыдущие века. Этот расцвет М. был связан по преимуществу с деятельностью академий; университеты играли меньшую роль. Отдалённость крупнейших математиков от университетского преподавания возмещалась той энергией, с к-рой все они, начиная с Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, писали учебники и обширные, включающие отдельные исследования,. трактаты. Новую струю в организацию науки внесла в кон. 18 н. Великая франц. революция. Крупнейшие учёные (Ж. Лагранж, П. Лаплас. Л. Лежандр, Г. Монж) привлекаются к созданию метрич. системы мер, обязанному с ней измерению меридиана, организованному на государственные средства вычислению поныл тригонометрич. таблиц и т. д. Наиболее важным для дальнейшего развития М. оказалось учреждение в 1794 Политехнической школы в Париже, возглавленной Г. Монжем и сделавшейся для Франции в нач. 10 в. основным центром математич. культуры.

Все созданные в 17 и 18 вв. разделы математич. анализа продолжали с большой интенсивностью развиваться в 19 и 20 вв. Чрезвычайно расширился за это время ч круг их применений к задачам, выдвигаемым естествознанием н техникой. Однако, помимо этого количественного роста, с последних лет 18 в. и в нач. 19 и. в развитии М. наблюдается и ряд существенно новых черт.

Накопленный в 17 и 18 вв. огромный фактич. материал привёл к необходимости углублённого логич. анализа и объединения его с новых точек зрения. Открытие и введение в употребление геометрич. интерпретации комплексных чисел [К. Вессель, 1799, и Ж. Арган (Арганд), 1806], доказательство неразрешимости в радикалах общего алгебраич. уравнения пятой степени (Н. Абель, 1824), разработка О. Коши основ теории функций комплексного переменного, его работы по строгому обоснованию анализа бесконечно малых, создание II. 11. Лобачевским (1826, опубл. н 1829—30) и Я. Больяй (1832) неевклидовой геометрии, работы К. Гаусса (1827) по внутренней геометрии поверхностей — типичные примеры наметившихся на рубеже 18 и 19 вв. новых тенденций в развитии М.

Связь М. с естествознанием, оставаясь, по существу, не менее тесной, приобретает теперь более сложные формы. Большие новые теории возникают но только в результате непосредственных запросов естествознания или техники, но также из внутренних потребностей самой М. Таково в основном было развитие теории функций комплексного переменного, занявшей в нач. и сер. 19 в. центральное положение во всём математич. анализе. Главная линия развития заключалась здесь в том, что переход в комплексную область делал более ясными н обозримыми свойства подлежащих изучению функций. Широкий интерес к непосредственному реальному применению функций комплексного переменного, напр., как функций, задающих конформное отображение, развился позднее, хотя возможности таких применений были намечены еще Л. Эйлером.

Ещё более замечательным примером теории, возникшей н результате внутреннего развития самой М., явилась “воображаемая геометрия” Лобачевского (см. Лобачевского геометрия). Возможность этой новой системы геометрии была усмотрена Н. И. Лобачевским на основе выяснения происхождения основных геометрич. понятий из материальной действительности и логич. анализа строения обычной евклидовой геометрии. Самому Н. И. Лобачевскому удалось применить свою геометрию лишь к вычислению нек-рых интегралов. Позднее были обнаружены связи его геометрии с теорией поверхностей и с теорией групп преобразований, геометрия эта нашла применение при исследовании важных классов аналитич. функций и т. д. Только в 20 в. с созданием теории относительности получило осуществление предположение Н. И. Лобачевского о возможности применения его геометрич. идей к исследованию реального физического пространства.

Можно привести ещё один пример того, как начавшийся в кон. 18 в. и м 1-й пол. 19 в. пересмотр с более общих точек зрения добытых ранее конкретных математич. фактов нашёл во 2-й пол. 19 в. и в 20 в. мощную поддержку в новых запросах естествознания. Теория групп ведёт своё начало с рассмотрения Ж. Лагранжем (1771) групп подстановок в связи с проблемой разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений высших степеней. Э. Галуа (1830—32, опубл. в 1832, 1846) при помощи теории групп подстановок дал окончательный ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраич. уравнений любой степени. В сер. 19 в. А. Кэли дал общее “абстрактное” определение группы. С.Ли разработал, исходя из общих проблем геометрии, теорию непрерывных групп. И лишь после этого Е. С. Фёдоров (1890) и А. Шёнфлис (4891) установили, что теоретико-групповым закономерностям подчинено строение кристаллов; ещё позднее теория групп становится мощным средством исследования в квантовой физике.

В более непосредственной и непрерывной зависимости от запросов механики и физики происходило формирование векторного исчисления и тензорного исчисления. Постепенно всё более обнаруживалось, что именно с точки зрения механики и физики “скалярные” величины, послужившие исходным материалом для формирования понятий действительного числа, являются лишь частным случаем величин многомерных. Рассмотрение функциональных зависимостей между такими величинами и составляет содержание векторного и тензорного исчисления. Перенесение векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины происходит в рамках функционального анализа и тесно связывается с потребностями современной физики.

Таким образом, в результате как внутренних потребностей М., так и новых запросов естествознания, круг количественных отношений и пространственных форм, изучаемых М., чрезвычайно расширяется; в него входят отношения, существующие между элементами произвольной группы, векторами, операторами в функциональных пространствах, всё разнообразие форм пространств любого числа измерений и т. п. При таком широком понимании терминов “количественные отношения” и “пространственные формы” приведённое в начало статьи определение М. применимо и на новом, современном этапе ее развития (см. также Пространство}.

Существенная новизна начавшегося в 19 в. этапа развития М. состоит в том, что вопросы необходимого расширения круга подлежащих изучению количественных отношений и пространственных форм становятся предметом сознательного и активного интереса математиков. Если прежде, напр., введение в употребление отрицательных и комплексных чисел и точная формулировка правил действий с ними требовали длительной работы, то теперь развитие М. потребовало выработки приёмов сознательного и планомерного создания новых геометрич. систем, новых “алгебр” с “некоммутативным” или даже “неассоциативным” умножением и т. д по мере возникновения в них потребности. Но трудно переоценить важность той перестройки всего склада математич. мышления, к-рая для этого должна была произойти в течение 19 в. С этой идейной стороны, наиболее значительным среди открытий нач. 19 в. явилось открытие неевклидовой геометрии Лобачевского. Именно на примере этой геометрии была преодолена вера в незыблемость освящённых тысячелетним развитием М. аксиом, была понятна возможность создания существенно новых математич. теорий путём правильно выполненной абстракции от налагавшихся ранее ограничений, но имеющих внутренний логич. необходимости, и, наконец, было обнаружено, что подобная абстрактная теория может получить со временем всё более широкие, вполне конкретные применения.

2. Вопросы обоснования математики. Роль теории множеств и математической логики

Только к кон. 19 в. сложился стандарт требований к логич. строгости, остающийся и до настоящего времени господствующим в практич. работе математиков над развитием отдельных математич. теорий. Этот стандарт основан на теоретико-множественной концепции строения любой математич. теории (см. Множеств теория. Аксиоматический метод}. С этой точки зрения любая математич. теория имеет дело с одним или несколькими множествами объектов, связанных между собой нек-рыми отношениями. Все формальные свойства этих объектов и отношений, необходимые для развития теории, фиксируются в виде аксиом, не затрагивающих конкретной природы самих объектов и отношений. Теория применима к любой системе объектов с отношениями, удовлетворяющими положенной в её основу системе аксиом. В соответствии с этим теория может считаться логически строго построенной только в том случае, если при её развитии не используется никаких конкретных, не упомянутых в аксиомах свойств изучаемых объектов и отношений между ними, а все новые объекты или отношения, вводимые по мере развития теории сверх упомянутых в аксиомах, формально определяются через эти последние.

Из указанных требований, в частности, вытекает, что математич. теория, применимая к к.-л. системе объектов, применима автоматически и к любой “изоморфной” системе. Заметим по этому поводу, что кажущееся иногда весьма абстрактным понятие изоморфизма является просто математич. выражением идеи “моделирования” физич. явлений из к.-л. одной области (напр., тепловых) физич. явлениями иной природы (напр., электрическими).

Изложенная концепция строения математич. теории является, по существу, лишь нек-рой конкретизацией определения М. как науки о количественных отношениях в разъяснённом выше широком понимании термина “количественные

отношения”. “Безразличие” количественных отношений к конкретной природ тех предметов, к-рые они связывают, находит здесь свое выражение в возможности свободно переходить от одной системы объектов к любой, ей изоморфной.

Естественно, что аксиоматич. изложение к.-л. специальной математич. теории (напр., теории вероятностей) не начинают на пустом месте, а пользуются понятиями натурального или действительного числа. В результате этого безукоризненное проведение аксиоматич. изложения математич. теорий перестало быть чем-либо особенно обременительным и всё больше входит во всеобщее употребление. При изучении таких сложных и в то же время общих образований, как, напр., непрерывные группы, различные виды векторных пространств, этот способ изложения и исследования необходим для достижения полной ясности и избежания ошибок.

Во всех конкретных, хотя бы и весьма общих, математич. теориях (от теории действительных чисел до общей теории топологич. пространств и т. п.) точка зрения теории множеств себя вполне оправдала в том смысле, что благодаря её проведению из конкретных математич. исследований практически исчезли случаи длительных неясностей и разногласий по вопросу о корректности определении и достаточной убедительности доказательств отдельных теорем. Возникшие в самой теории множеств неясности и даже прямые противоречия связаны гл. обр. с теми её областями, где понятию бесконечного множества придаётся общность, излишняя для к.-л. приложений. С принципиальной стороны, однако, следует иметь в виду, что теоретико-множественное построение всех основных математич. теорий, начиная с арифметики натуральных и действительных чисел, требует обращения именно к теории бесконечных множеств, а их теория сама требует логич. обоснования, так как абстракция, приводящая к понятию бесконечного множества, законна и осмыслена лишь при определённых условиях, к-рые ещё далеко не выяснены.

Другую сторону строения любой математич. теории освещает математическая логика. Система аксиом в изложенном выше (теоретико-множественном) понимании лишь ограничивает извне область применения данной математич. теории, указывая свойства подлежащей изучению системы объектов с отношениями, но не даёт никаких указаний относительно логич. средств, при помощи к-рых эту математич. теорию придётся развивать. Напр., свойства системы натуральных чисел с точностью до изоморфизма задаются при помощи очень простой системы аксиом. Тем не менее решение вопросов, ответ на к-рые в принципе однозначно предопределён принятием этой системы аксиом, оказывается часто очень сложным: именно теория чисел изобилует давно поставленными и очень простыми по формулировке проблемами, но нашедшими и до настоящего времени решения. Возникает, естественно, вопрос о том, происходит ли это только потому, что решение нек-рых просто формулируемых проблем теории чисел требует очень длинной цепи рассуждений, составленной из известных и уже вошедших в употребление элементарных звеньев, или же потому, что для решения нек-рых проблем теории чисел необходимы существенно новые, не употреблявшиеся ранее приёмы логич. выводи.

Современная математич. логика дала на этот вопрос определённый ответ:

никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем теории чисел. Точнее, уже в пределах теории натуральных чисел можно сформулировать последовательность проблем такого рода, что для любой дедуктивной теории среди этих проблем найдётся неразрешимая в пределах данной теории (К. Гёдель). При этом под “дедуктивной теорией” понимается теория, к-рая развивается из конечного числа аксиом при помощи построения сколь угодно длинных цепей рассуждений, составленных из звеньев, принадлежащих к конечному числу фиксированных для данной теории элементарных способов логи'1. вывода.

Таким образом было обнаружено, что понятие математич. теории в смысле теории, охватываемой единой системой аксиом теоретико-множественного типа, существенно шире, чем логич. понятие дедуктивной теории: даже при развитии арифметики натуральных чисел неизбежно неограниченное обращение к существенно новым способам логич. рассуждений, выходящим за пределы любого конечного набора стандартизированных приёмов.

Все те результаты, к-рые могут быть получены в пределах одной дедуктивной теории, могут быть также получены вычислением, производимым по данным раз и навсегда правилам. Если для решения нек-рого класса проблем даётся строго определённый рецепт их вычислительного решения, то говорят о математич. алгоритме. С самого создания достаточно разработанной системы математич. знаков проблемы построения достаточно общих и в то же время кратких алгоритмов занимали большое место в истории М. Но только в результате развития математич. логики начала создаваться общая теория алгоритмов и “алгоритмич. разрешимости” математич. проблем.

Отмеченной выше ограниченности возможностей любой фиксированной дедуктивной теории в теории алгоритмов соответствуют теоремы о невозможности “универсальных” алгоритмов для достаточно общих классов математич. проблем. Эти теоремы дали философии М. наиболее интересную и острую конкретизацию общего положения о том, что живое мышление принципиально отличается от работы любого вида вычисляющих автоматов.

Начало и середина 19 века. В начале 19 в. происходит новое значительное расширение области приложений математич. анализа. Если до этого времени основными отделами физики, требовавшими большого математич. аппарата, оставались механика и оптика, то теперь к ним присоединяются электродинамика, теория магнетизма и термодинамика. Получают широкое развитие важнейшие разделы механики непрерывных сред, из к-рых только гидродинамики несжимаемой идеальной жидкости Пыла создана еще в 18 в. Д. Борпулли, Л. Эйлером, Ж. Д'Аламбером и Ж. Лагранжем. Быстро растут и математич. запросы техники. В нач. 19 в.— ото вопросы термодинамики паровых машин, технич. механики, баллистики. В качестве основного аппарата новых областей механики и математической физики, усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений с частными производными и особенно теория потенциала. В этом направлении работает большинство крупных аналитиков нач. п сер. 19 в.— К. Гаусс, Ж. Фурье, С. Пуассон, О. Коши, П. Дирихле, Дж. Грин, М. В. Остроградский. М. В. Остроградский заложил основы вариационного исчисления для функций нескольких переменных, нашёл (1826, опубл. в 1831) знаменитую формулу преобразования тройных интегралов в двойные и ее n-мерное обобщение (1834, опубл. в 1838), усовершенствовал теорию замены переменных в кратных интегралах (1836, опубл. в 1838), получив, по существу, те результаты, к-рые были для общего n-мерното случая компактно формулированы позднее (1841) К. Якоби. В результате исследований но уравнениям математич. физики в работах Дж. Стокса и других возникает векторный. анализ (одной из основных формул к-рого, впрочем, являлась, по существу, и упомянутая формула Остроградского).

Как уже отмечалось, наряду с развитием работ, возникших из новых запросов естествознания и техники, чрезвычайное внимание математиков с самого начала 19 в. привлекают вопросы строгого обоснования анализа. Одним из первых приступил к исследованиям в этом направлении Б. Больцано, аналитически доказавший (1817) теорему о промежуточных значениях непрерывной функции; при этом он впервые дал современное определение непрерывной функции и доказал т. н. теорему Больцано — Вейерштрасса о существовании хотя бы одной предельной точки у всякого бесконечного ограниченного точечного множества. Для полной строгости выводов Б. Больцано не доставало теории действительного числа; в его рукописях, опубликованных лишь в наше время, имеется незавершённый набросок такой теории. Однако небольшая брошюра Б. Больцано (1817) оставалась незамеченной около полустолетия, и реальным отправным пунктом перестройки анализа стали курсы О. Коши, к-рый в 1821 и 1823 опубликовал читанные в Политехнической школе лекции, содержащие строгое изложение теории пределов, теории рядов, определение понятия непрерывности функции и основанное на теории пределов изложение дифференциального и интегрального исчисления (в частности, теорему существования интеграла от непрерывной функции). Нек-рые дополнения к этому изложению, а также теорема о существовании и единственности решений дифференциальных уравнений, уже известные О. Коши в это время, были опубликованы позднее. Н. И. Лобачевский (1834) и независимо П. Дирихле (1837) отчётливо сформулировали определение функции как совершенно произвольного соответствия (восходящее, впрочем, к Л. Эйлеру, 1755). П. Дирихле доказал (1829, 1837) изобразимость любой функции с конечным числом максимумов н минимуме! рядом Фурье; перекрывающиеся (в смысле общности) условия сходимости рядов Фурье дал Н. И. Лобачевский (1834—35).

Выше уже отмечалась работа К. Весселя, содержавшая геометрич. интерпретацию комплексных чисел, но она оставалась незамеченной. В 1799 К. Гаусс опубликовал первое доказательство основной теоремы алгебры, осторожно формулируя, однако, эту теорему в чисто действительных терминах (разложимость действительного многочлена на действительные множители первой и второй степени). Лишь значительно позже (1831) К. Гаусс явно изложил теорию комплексных чисел. Тем временем Ж. Арган опубликовал в 1806 теорию комплексных чисел с их геометрич. интерпретацией и доказательством т. н. леммы Д'Алам-бора, а в 1815 — доказательство основной теоремы алгебры, близкое по идее и доказательству О. Коши (1821).

В период увлечения теорией функций комплексного переменного крупнейшим представителем интереса к конкретным вопросам теории функций в действительной области является П. Л. Чебышев. Наиболее ярким выражением этой тенденции явилась созданная (начиная с 1854) П. Л. Чебьппевым, исходившим из запросов теории механизмов, теория наилучших приближений.

В алгебре после доказательства неразрешимости в радикалах общего уравнения пятой степени (П. Руффини, Н. Абель) Э. Галуа показал, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах зависит от свойств связанной с уравнением группы Галуа (см. Галуа теория). Задача общего абстрактного изучения групп ставится А. Кэли. Следует отметить, что даже в алгебре всеобщее признание значения теории групп произошло только после работ К. Жордана в 70-х гг. От работ Э. Галуа и Н. Абеля берёт начало также понятие поля алгебраич. чисел, приведшее к созданию новой науки — алгебраич. теории чисел. На существенно новую ступень поднимается в 19 в. разработка старых задач теории чисел, связанных с простейшими свойствами обычных целых чисел. К. Гаусс разрабатывает (1801) теорию представимости чисел квадратичными формами, П. Л. Чебышев получает (1848,1850) основные результаты о плотности расположения в натуральном ряде простых чисел. П. Дирихле доказывает (1837) теорему о существовании бесконечного числа простых чисел в арифметич. прогрессиях и т. д.

Дифференциальная геометрия поверхностей создаётся К. Гауссом (1827), Ф. Миндингом и К. М. Петерсоном (1853). Для выработки новых взглядов на предмет геометрии основное значение, как уже было указано, имело создание Н. И. Лобачевским неевклидовой геометрии. Параллельно развивалась долгое время независимо от неевклидовой геометрии проективная геометрия (Ж. Понселе, Я. Штейнер, К. Штаудт и др.), также связанная с существенным изменением старых взглядов на пространство. Ю. Плюккер строит геометрию, рассматривая в качестве основных элементов прямые, Г. Грассман создаёт афинную и метрич. геометрию n-мерного векторного пространства.

Дальнейшее углубление исследований по основаниям математики сосредоточивается на преодолении логич. трудностей, возникших в общей теории множеств, и на исследовании строения математич. теории и приёмов конструктивного решения математич. задач средствами математич. логики. Эти исследования вырастают в большой самостоятельный отдел М.— математич. логику. Основы математич. логики создаются в 19 и. Дж. Булем, II. С. Порецким, Э. Шредером, Г. Фреге, Дж. Пеано и др. В нач. 20 в. в этой области получены большие достижения (теория доказательств Д. Гильберта; интуиционистская логика, созданная Л. Брауэром и его последователями).

Чрезвычайное развитие, превосходящее предшествующие периоды не только по количеству работ, но также по совершенству п силе методов и окончательности результатов, получают в кон. 19 в. и в нач. 20 в. все разделы М., начиная с самого старого из них — теории чисел. Э. Куммер, Л. Кронекер, Р. Дедекинд, Е. И. Золотарёв и Д. Гильберт закладывают основы современной алгебраич. теории чисел. Ш. Эрмит в 1873 доказывает трансцендентность числа е, Ф. Линдеман в 1882 — числа л, Ж. Адамар (1896) и Ш. Ла Балле Пуссен (1896) завершают исследования П. Л. Чебышева о законе убывания плотности расположения простых чисел в натуральном ряду. Г. Минковский вводит ii теоретико-числовые исследования геометрич. методы. В России работы по теории чисел после П. Л. Чебышева блестяще развивают, кроме уже упомянутого Е. И. Золотарёва, А. Н. Коркин, Г. Ф. Вороной и А. А. Марков. Достигнутое благодаря их работам ведущее положение русской науки в области теории чисел ещё более закрепляется в советское время. Продолжают развиваться классич. отделы алгебры. В частности, подробно исследуются различные возможности сведения решения уравнений высших степеней (не разрешимых в радикалах) к решению уравнений возможно более простого вида — т. н. проблема резольвент (Ф. Клейн, Д. Гильберт). В связи с запросами теории колебании (устойчивость, автоматич. управление) широко исследуется вопрос о критериях того или иного расположения корней уравнения на плоскости. Вопросы линейной алгебры, получающей всё более широкое применение в механике и физике, освещаются с совершенно ноной стороны, благодаря привлечению геометрич. идей теории гамерных векторных пространств. Однако центр тяжести теоретич. алгебраич. исследований переносится в её новые области: теорию групп, полей, Колец, решёток и т. д. Многие из этих отделов получают глубокие применения в естествознании: в частности, теория групп — в кристаллографии (в работах Е. С. Фёдорова и А. Шёнфлиса), а позднее — в квантовой физике.

На границе между алгеброй и геометрией С. Ли создаёт (начиная с 1873) теорию непрерывных групп, методы к-той позднее проникают во все новые области М. и естествознания.

Элементарная и проективная геометрия привлекают внимание математиком гл. обр. под углом зрения изучения их логич. и аксиоматич. основ. Но основными отделами геометрии, привлекающими наиболее значительные научные силы, становится дифференциальная и алгебраическая геометрия. Дифференциальная геометрия евклидова трёхмерного пространства получает полное систематич. развитие в работах Э. Бельтрами, Г. Дарбу и др. Позднее бурно развивается дифференциальная геометрия различных, более широких (чем группа евклидовых движений) групп преобразований и особенно дифференциальная геометрия многомерных пространств. Это направление геометрич. исследований, получившее мощный импульс к развитию с возникновением общей теории относительности, создано прежде всего работами Т. Леви-Чивиты, Э. Картана и Г. Вейля.

В связи с развитием более общих точек зрения теории множеств и теории функций действительного переменного теория аналитических функций в кон. 19 в. лишается того исключительного положения ядра всего математич. Анализа, к-рое намечается для нее в нач. и сер. 19 в. Однако она продолжает не менее интенсивно развиваться как в соответствии со своими внутренними потребностями, так и из-за обнаруживающихся новых связей её с другими отделами анализа и непосредственно с естествознанием. Особенно существенным в этом последнем направлении было выяснение роли конформных отображений при решении краевых задач для уравнений с частными производными (напр., задачи Дирихле для уравнения Лапласа), при изучении плоских течений идеальной жидкости и в задачах теории упругости.

Ф. Клейн и А. Пуанкаре создают теорию автоморфных функций, в к-рой находит замечательные применения геометрия Лобачевского. Э. Пикар, А. Пуанкаре, Ж. Адамар, Э. Борель глубоко разрабатывают теорию целых функций, что позволяет, в частности, получить уже упоминавшуюся теорему о плотности расположения простых чисел. Геометрич. теорию функций и теорию римановых поверхностей развивают А. Пуанкаре, Д. Гильберт и др.

В результате систематич. построения математич. анализа на основе строгой арифметич. теории иррациональных чисел и теории множеств возникла новая отрасль М.— теория функций действительного переменного. Под этим несколько условным названием понимают по преимуществу исследование основных понятий анализа (напр., понятий функции, производной, интеграла) и основных операций анализа (напр., разложения функций в тригонометрич. ряды) с достаточно общей точки зрения. Если ранее систематически изучались лишь функции, возникающие “естественно” из тех или иных специальных задач, то для теории функций действительного переменного типичен интерес к полному выяснению действительного объёма общих определений (в самом начале её развития Б. Больцано и позднее К. Вейерштрассом было, напр., обнаружено, что непрерывная функция может не иметь производной ни в одной точке) и к обобщению основных понятий анализа в тех случаях, когда в первоначальной форме они не дают исчерпывающего ответа на ту задачу, из решения к-рой они возникли (напр., создание такого процесса интегрирования, к-рый позволил бы восстановить с точностью до постоянной любую функцию, имеющую в каждой точке производную по этой производной). Основы современной теории функций действительного переменного заложили математики французской школы (К. Жордан, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр), позднее ведущая роль переходит к русской и советской школе (см. Метрическая теория функций).

Помимо своего непосредственного интереса, теория функций действительного переменного оказала большое влияние на развитие многих других отделов М. Выработанные в её пределах методы оказались особенно необходимыми при построении основ функционального анализа. Если в отношении методов функциональный анализ развивался под влиянием теории функций действительного переменного и теории множеств, то по своему содержанию и характеру решаемых в нём задач он примыкает непосредственно к классич. анализу и математич. физике, становясь особенно необходимым (гл. обр. в форме теории операторов) в квантовой физике. Впервые сознательное выделение функционального анализа как особой ветви М. было произведено В. Вольтеррой в кон. 19 в. В качестве частей функционального анализа воспринимаются теперь возникшее много ранее вариационное исчисление и теория интегральных уравнений, систематич. построение к-рой было начато тем же В. Вольтеррой и продолжено И. Фредгольмом, закончившим в общих чертах теорию важного класса линейных интегральных уравнений, названных его именем. С более общей точки зрения центральное положение в функциональном анализе занимает теория бесконечномерных пространств (разработанная и наиболее, употребительной ныне форме С. Банахом) и операторов в них. Наиболее важный специальный случай операторов в гильбертовом пространстве, основная роль к-рого выяснилась из работ Д. Гильберта по интегральным уравнениям, разрабатывается особенно интенсивно.

Наибольшее число задач, выдвигаемых перед М. естествознанием и техникой, сводится к решению дифференциальных уравнений, как обыкновенных (при изучении систем с конечным числом степеней свободы), так и с частными производными (при изучении непрерывных сред и в квантовой физике). Поэтому все направления исследований дифференциальных уравнений в рассматриваемый период интенсивно культивируются. Для решения сложных линейных систем создаются методы операционного исчисления. При исследовании нелинейных систем с малой нелинейностью широко применяется метод разложения по параметру. Продолжает разрабатываться аналитич. теория обыкновенных дифференциальных уравнений (А. Пуанкаре и др.). Однако наибольшее внимание в области теории обыкновенных дифференциальных уравнений привлекают теперь вопросы качественного исследования их решений: классификация особых точек (А. Пуанкаре и др.), вопросы устойчивости, особенно глубоко изученные А. М. Ляпуновым.

Качественная теория дифференциальных уравнений послужила А. Пуанкаре отправным пунктом для широкого продолжения лишь едва намеченных Б. Риманом исследований по топологии многообразии, особенно в направлении изучения неподвижных точек их непрерывных отображений на самих себя. Здесь получили свое начало “комбинаторные”, “гомологические” и “гомотопические” методы современной топологии. Другое направление в топологии возникло на почве теории множеств и функционального анализа и привело к систематич. построению теории общих топологич. пространств, в частности теории их размерности.

Существенным дополнением к методам дифференциальных уравнений при изучении природы и решении технич. задач являются методы теории вероятностей. Если п нач. 19 в. главными потребителями вероятностных методов были теория артиллерийской стрельбы и теория ошибок, то в кон. 19 в. ив нач. 20 в, теория вероятностей получает много новых применений благодаря развитию статистич. физики и механики и разработке аппарата математической статистики. Наиболее глубокие теоретич. исследования по общим вопросам теории вероятностей п кон. 19 в. ив нач. 20 в. принадлежат русской школе (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М.Ляпунов). Они сосредоточиваются вокруг вопроса об условиях применимости центральной предельной теоремы теории вероятностей. В 20 в. происходит общий подъём интереса к теории вероятностей во всех странах. Создаются основы теории случайных процессов и даётся окончательная форма аксиоматич. изложения теории вероятностей, исходящая из усмотренных впервые Э. Борелем аналогий между понятием вероятности и понятием меры в теории функций действительного переменного.

Практич. использование результатов теоретич. математич. исследования требует получения ответа на поставленную задачу в численной форме. Между тем даже после исчерпывающего теоретич. разбора задачи это часто оказывается совсем не лёгким делом. В кон. 19 в. и в нач. 20 в. численные методы анализа выросли в самостоятельную ветвь М. Особенно большое внимание уделялось при этом методам численного интегрирования дифференциальных уравнений (методы Адамса, Штёрмера, Рунге и др.) и квадратурным формулам (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, В. А. Стеклов). Широкое развитие работ, требующих численных расчётов, привело к необходимости вычисления и публикации всё возрастающего количества математич. таблиц.

Со 2-й пол. 19 в. начинается интенсивная разработка вопросов истории М.

Потребности развития самой М., “математизация” различных областей науки, проникновение математич. Методов во многие сферы практич. деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники приводят к перемещению основных усилий математиков внутри сложившихся разделов М. и к появлению целого ряда новых математич. дисциплин

На основе задач теории управляющих систем, комбинаторного анализа, теории графов, теории кодирования возникла конечная или дискретная математика.

Вопросы о наилучшем (в том или ином смысле) управлении физич. или ме-ханич. системами, описываемыми дифференциальными уравнениями, привели к созданию математич. теории оптимального управления, близкие вопросы об управлении объектами в конфликтных ситуациях — к возникновению и развитию теории дифференциальных игр.

Исследования в области общих проблем управления и связанных с ними областях М. в соединении с прогрессом вычислительной техники дают основу для автоматизации новых сфер человеческой деятельности.

Советская М. занимает передовое место в мировой математич. науке. Во многих направлениях работы советских учёных играют определяющую роль. Успехи дореволюционной русской М. были связаны с исследованиями отдельных выдающихся учёных и опирались на узкую базу. Научные математич. центры имелись в немногих городах (Петербург, Москва, Казань, Харьков, Киев). При этом основные достижения были связаны с работой петербургской школы. После Великой Октябрьской социалистич. революции ряд новых важных направлений возник в московской математич. школе. В дореволюционной России основными центрами математич. исследований являлись университеты (Петербургский, Московский, Казанский и др.). Развитие научных исследований и области М. и её приложений после 1917 было самым тесным образом связано с развитием и укреплением АН СССР; эти исследования в значительной мере сконцснтрироианы в математических институтах АН СССР, АН союзных республик и ведущих университетах. Важной чертой развития М. является возникновение за годы Советской власти многочисленных научных школ в городах, где раньше не велось заметной работы в области М. Таковы математич. школы в Тбилиси, Ереване, Баку, Вильнюсе, Ташкенте, Минске, Свердловске и др. городах и созданная в 60-х гг. научная школа в Академгородке близ Новосибирска.

За рубежом математич. исследования ведутся как в математич. институтах, так и в университетах (особенно в капиталистич. странах).

Ещё на рубеже 17—18 вв. появились первые математические общества, имеющиеся сейчас во многих странах. Обзорные доклады о мировых достижениях математич. науки и её приложений, а также сообщения о наиболее интересных работах отдельных учёных читаются и обсуждаются на происходящих раз в 4 года (начиная с 1898) международных математических конгрессах. Организация и поощрение международного сотрудничества в области М., подготовка научных программ международных математич. конгрессов и др. является задачей международного математического союза. Текущие математич, исследования (а также информация о математич. жизни в различных странах) публикуются в математических журналах, общее число к-рых (нач. 80-х гг. 20 в.) более 250.

Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей, М., 1978; Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций, М., 1981;

Обзоры и энциклопедии. ВиноградовИ.М., Математика и научный прогресс, в кн.:

Ленин и современная наука, кн. 2, М., 1970; Математика. [Сб. ст.], М.— Л., 1932 (Наука в СССР за 15 лет. 1917—1932); Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947. Сб. ст., М.— Л., 1948; Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957. Сб. ст., т. 1, М., 1959; В е и л ь Г., Полвека математики, пер. с англ., М., 1969.

Математическая энциклопедия, т. 1—5, М., 1977—85; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1—5, М.—Л., 1951—66; Вебер Г. и Вельштейн И., Энциклопедия элементарной математики, пер. с нем., 2 изд., т. 1—3, Одесса, 1911—14; Enzyklopadio der mathematischen Wissenschaften, mit Einschluss ihrer Anwendungen, Bd 1—6, Lpz., 1898— 1934; 2 Aufl., Bd 1—3, Lpz., 1950—67; Encyclopedic des sciences mathematiques pures et ap-pliquees, t. 1—7, P.—Lpz., 1904—14; Mathematik, 12 Aufl., Lpz., 1983 (Kleine Enzyklope-die); Mathematiaches Worterbuch, 2 Aufl., Bd 1—2, В.— Lpz., 1962.