Главная страница Список все работ и книг doc-word97 в zip
Мною разработаны методы решения более ста уравнений Диофанта,изложенные в работе “ Элементарные уравнения Диофанта”.Используется только школная математика.Книга относится к циклу “ Занимательная математика” и предназначена для учащихся 8-х – 9-х классов.
Ниже приводятся некоторые из решенных задач.Во всех задачах кроме задания 1 получены параметрические формулы,с помощью которых находится бесконечное множество решений.
В задании № 1 требуется найти одно решение.
Во всех заданиях сформулировано условие и приводится одно решение.
Задание№1
Найти одно неочевидное целочисленное решение однородного кубичееского уравнения с тремя переменными:
2X3+3Y3=78Z3.
Ответ:51;-44; 5.
Задание№2
Известно числовое равенство: 33+43+53=63.Двумя способами можно составитьтождества , в которых вместо чисел входят квадратные трехчлены.
Пример:
(16X2-22X-21)3 + (12X2+22X-28)3 + (20X2-14X+42)3=(24X2-14X+35) 3
Задание: Двумя способами получить параметрические формулы для коэффициента в трехчленах ,при которых сумма трех кубов квадраьных трехчленов равна кубу квадратного трехчлена.
Задание№3
В журнале “ Математика в школе”(№3 1983г.) Б.А.Кордемский указал,что полностью не решена задача отыскания треугольников,у которых стороны и площадь измеряются рациональными числами. В задании № 3 требуется найти треугольники,у которых не только стороны, и площадь являются целыми числами,но и но и три биссектриссы также целочисленны.
Вывести параметрические формулы для сторон,биссектрис и площади треугольников,у которых все перечисленные элементы целочисленные.
Примечание: Чтобы числа получались не очень большими ,для биссектрисс допускаются
рациональные значения. К подобному треугольнику переходить не обязательно. Одно из решений: a=289; b=250; c=91
S=10920.
Задание№4.
В трапеции 6 линейных элементов – четыре стороны и две диагонали. Если независимыми считать четыре стороны ,для двух диагоналей получается через теорему косинусов два кубических уравнения . Чтобы сделать все 6 элементов целочисленными, требуется решить систему из двух однородных кубических уравнений с шестью переменными.
Система решается.
Одно из решений: Основания 380 и 231,боковые стороны 233 и 214,диагонали 394 и 347.
Задание№5.
Пьер Ферма доказал,что не существует прямоугольных треугольников,у которых стороны целочисленные.а площадь измеряется квадратом целого числа.На трапеции запрет не распространяется. Задание: Вывести параметрические формулы сторон и площади таких трапеций.
Одно из решений: Основания- 205 и 37,боковые стороны-156 и 180.Площадь 1322.
Вывести параметрические формулы для сторон диагоналей и площади равнобедренных трапеций,у которых все перчисленные элементы измеряются целыми числами.
Одно из решений: основания 25 и 7.Боковые стороны 15.Диагонали 20,площадь 192.
Задание№6
Большой класс кубических уравнений с четырьмя пременными решается в целых числах.
а) Решить в целых числах однородное кубическое уравнение с четырьмя переменными.
X3+Y3+Z3=3U3.
Одно из решений. –18; 10;17;3
b)Двумя способами решить в целых числах однородное кубическое уравнение с четырьмя переменными.
A(X3+Y3) = B(U3 + V3).
Одно из решений. При А =4 В=5 решение 385;15;348;152.
Задание №7
Решаются в рациональных числах и неоднородные кубические уравнения с четырьмя переменными.
а)Решить в рациональных числах кубическое уравнение с четырьмя переменными и свободным членом.
X3+Y3+Z3=U3 + a. a- рациональное число.
Одно из решений:
b).Решить в рациональных числах кубическое уравнение с четырьмя переменными.
(7+X)3 + (54+Y)3 +(57+Z)3 =(70+U)3 + 10.
Модули переменных не должны превосходить 0,01.
Одно из решений:
Задание №8.
Решить в целых числах системы кубических уравнений.
а)
Одно из решений;
b)
Одно из решений.
690; 920; 1150; 483; 966; 1173; 810; 900; 1110.
с) Решить в целых числах систему из двух уравнений.
Одно из решений:
15543,17270,20724,1727,20760, -3457.
Задание №9
В целых числах решаются уравнения 4-й степени .
а) Решить в целых числах неоднородное уравнение четвертой степени с четырьмя переменными.
(X+Y+Z) (X+Y) (X+Z) (Y+Z)=U2
Одно из решений:3,5,7,120.
b) Решить в целых числах однородное уравнение четвертой степени с четырьмя переменными.
(X+Y+U)(X+Y-U)(X+U-Y)(Y+U-X)=
(X+Y+V)(X+Y-V)(X+V-Y)(Y+V-X).
Одно из решений. 15,30,27,39.
Задание№10
Число 57967 обладает интересным свойством.Его можно представить в виде неполного квадрата суммы тремя способами:
57967=2342+234*13+132=217+217*42+422=1822+182*91+912.
Задание: вывести параметрические формулы для чисел,которые можно представить в виде неполного квадрата суммы четырьмя способами.
Задание №12
Решить в рациональных числах уравнение четвертой степени с четырьмя переменными и свободным членом.
(X+Y+Z)(X+2Y)(Y+2Z)(Z+2X)=U2+a ,где а – рациональное число.
Одно из решений:
Задание №13.
Квадратное уравнение с двумя переменными
x2-ay2=1
называется уравнением Пелля.Его решению посвятили свои труды многие великие математики ,в том числе Эйлер, Лагранж и другие.
Ниже приводится ряд похожих уравнений, которые решаются средствами школьной математики.
a)2X2-3Y2=5. Одно из решений 1564, 1277.
b) X2+XY-Y2=5.Одно из решений 322,521.
с)X2+9XY-3Y2=1.
Одно из решений:28,87.
Задание № 14.
Решить в целых числах квадратное уравнение с двумя переменными. а- натуральное число.
X2+aXY-Y2=1.
Одно из решений:
X= a4 + 3 a2 + 1, Y=a5+4a3+3a.
Обращаем внимание на тот факт.что уравнение решается даже в буквах.
Задание №15
Куб с ребром равным 21, можно разложить на три рациональных куба двумя способами:
213=10,53+143+17,53=7,353+14,73+17,853
Задание: Разбить куб с ребром равным 20 на три рациональных куба четырьмя
способами.
Задание №16
В математической литературе не встречаются числовые примеры с четвертыми степенями.
Задание: Решить в целых числах уравнения:
Одно из решений:
74+444+34=314+64+414=3 750 578.
Задание №17
Решить уравнение в комплексных числах ,у которых действительные части и коэффициенты при мнимой единице – целочисленные
а)
.
Одно из решений ( 7+5i)4+(7-3i)4=(7-5i)4+ (7+3i)4= - 4488.
b) 
.
Одно из решений:
(5+i)5+(5-i)5=(5+7i)5+(5-7i)5=3800.
Я искренне надеюсь,что Вас заинтересуют предложенные задачи.По интересующим вопросам напишите мне по адресу :
Автор: Лабковский Вилен Борисович.
Главная страница Список все работ и книг