Главная страница Список все работ и книг
В предлагаемой статье рассматривается модель динамики уровня цен, описываемая системой дифференциальных уравнений (модель предложена В.А.Дыхтой в качестве модификации модели гиперинфляции Ф.Кейгана)
Фигурирующие в уравнениях величины имеют следующий смысл: p(t),p1(t) – соответственно, фактический и ожидаемый уровни цен, MS(t) – предложение денег (определяется государством), a,a , b , g - различные коэффициенты (постоянные величины).
Исследуем предложенную модель при условии постоянства MS(t)=m.
Первое уравнение принимает вид
Заметим, что первое и третье уравнения не зависят от p1 , а относительно p и p2 первое и третье уравнения задают динамиче-скую систему на плоскости.
Перейдем к обычно употребляемым обозначениям неизвест- ных функций x и y.
Получим систему
где 
При условии x>0 система имеет единственную
точку покоя 
Матрица линеаризованной в этой точке системы выглядит следующим образом
,
где m =
Для определения собственных чисел этой матрицы получаем уравнение
Таким образом, l 1 и l 2 можно определить по формуле
Управляемым параметром является величина m (или m в последней формуле).
Если мы зафиксируем 
и
будем изменять m (или m ), то динамика изменения
типа точки покоя будет выглядеть следующим
образом.
При 
точка покоя
является устойчивым узлом.
Заметим, при 
этот тип
отсутствует при любом значении m .
При 
тип точки покоя –
устойчивый фокус.
При 
имеем
неустойчивый фокус.
И, наконец, при 
получаем неустойчивый узел.
Компьютерный эксперимент, произведенный с рассматриваемой в данной заметке моделью, показывает, что при определенных условиях неустойчивый фокус оказывается окруженным одним или несколькими предельными циклами. Далее, устойчивый узел притягивает не все траектории, четко наблюдается область неустойчивости. Аналогично, в случае неустойчивого узла, часть траекторий не являются “выходящими” из него.
На иллюстрациях представлены случаи неустойчивого фокуса (верхний рисунок) и устойчивого узла (нижний рисунок).
В первом случае предельные циклы визуально различаются как границы “колечек”. Количество их визуально определить не представляется возможным. Для этого требуется применение более специальных компьютерных методов или более тонкого теоретического анализа.
Главная страница Список все работ и книг