Главная страница http://rusnauka.narod.ru

Пайтаген Х.-О., Рихтер П.Х.

Красоты фракталов.

ЧАСТЬ I

ГРАНИЦЫ ХАОСА

Там, где окружающий нас мир перестает быть ареной личных надежд и желаний, где мы как свободные существа, сомневаясь и размышляя, созерцаем его в изумлении, там мы вступаем в царство искусства и науки. Если мы описываем увиденное и известное по опыту на языке логики — это наука; если же представляем в формах, внутренние взаимосвязи которых недоступны нашему сознанию, но которые интуитивно воспринимаются как осмысленные, — это искусство. И для искусства, и для науки общим является увлечение чем-то стоящим выше личного, свободным от условного.

А. Эйнштейн

Наука и искусство — два дополняющих друг друга способа познания природы, аналитический и интуитивный. Мы привыкли считать их противоположными полюсами, но не зависят ли они друг от друга? Мыслитель, пытающийся постичь в своем сознании явления природы, стараясь свести всю их сложность к небольшому числу фундаментальных законов — не является ли он также мечтателем, погружающимся в богатство форм и воспринимающим себя частью извечного хоровода природных явлений?

Это ощущение общности, которое может испытать каждый из нас, не находит отражения в истории культуры последних двух столетий. Как будто чувствуя себя слишком стесненными рамками единой души, дух искусства и дух науки разделились. Единый Фауст стал двумя одномерными сущностями. Это разделение кажется необратимым, и сегодня уже не принимается во внимание то, что обе части вместе способствовали развитию в эпоху просвещения. Смелость в использовании своих собственных аргументов превратилась в самонадеянность. Холодный рационализм науки и технологии широко распространился и трансформировал мир до такой степени, что само существование человека оказалось под угрозой. Искусство перед этим оказалось, к сожалению, беспомощным.

Безусловно, эта напряженность оказывает воздействие и на естествознание. Многие крупные мыслители в конце концов осознавали неадекватность укоренившегося способа мышления. Несмотря на грандиозные успехи физики элементарных частиц или анализа гомологических рядов в молекулярной генетике, кредо “фундаменталистов” уже утратило свою исключительную привлекательность. Теперь уже недостаточно открыть основные законы и понять, как работает мир “в принципе”. Все более и более важным становится выяснение того, каким способом эти принципы проявляют себя в реальности. Самые точные фундаментальные законы действуют в реально существующем мире. Любой нелинейный процесс приводит к ветвлению, к развилке на пути, в которой система может выбрать ту или иную ветвь. Мы имеем дело с выбором решений, последствия которых предсказать невозможно, поскольку для каждого из этих решений характерно усиление.

Самые незначительные неточности раздуваются и имеют далеко идущие последствия. В каждый отдельный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна. Рано или поздно начальная информация о состоянии системы становится бесполезной. В ходе эволюции любого процесса информация генерируется и запоминается. Законы природы допускают для событий множество различных исходов, но наш мир имеет одну-единственную историю.

Даже в астрономии, старейшей из естественных наук, следует пересмотреть прежние представления. Когда Кеплер и Ньютон, а затем более точно Эйнштейн, объяснили раз и навсегда то, как отдельные планеты движутся вокруг солнца по своим эллиптическим орбитам, создалось впечатление, что для полного описания движения системы трех или более тел требуется просто увеличить интенсивность вычислений. Верно, что наши космические корабли могут полагаться на ньютоновы законы движения и что современные компьютеры направляют их к нужным целям, но остается верным и то, что по истечении достаточно большого периода времени траектории их движения становятся непредсказуемыми. До сих пор не получен ответ на старый вопрос об устойчивости солнечной системы. На рубеже XVIII— XIX в. считалось, что она должна быть устойчивой. В начале XX в. — после Пуанкаре — имелись основания предполагать обратное. Сегодня мы уже допускаем, что долгосрочный прогноз поведения солнечной системы (даже если ограничиться только гравитационным взаимодействием) невозможен: как говорят специалисты, уравнения являются “неинтегрируемыми”. Любая самая малая неточность в начальных условиях может позже очень сильно повлиять на последующее движение. Та сложность, которая заключается, казалось бы, в простых уравнениях (рис. 1), привела в замешательство и специалистов, и неспециалистов.

Аналогичные проблемы возникают почти во всех других дисциплинах. Одна из причин того, почему мы до сих пор не можем управлять термоядерной реакцией, заключается в том, что мы не имеем адекватного представления о хаотическом движении заряженной частицы в системе магнитных зеркал. Изучение развития яиц насекомых показывает, что и морфогенез невозможно понять, опираясь только на знание соответствующего генома и его молекулярного строения. Феноменология имеет свои собственные законы. На каждой новой ступени организации вступают в силу новые правила.

Все это не означает, что известные до сих пор законы природы неверны; это лишь означает, что трудно обнаружить все скрытое в них. Эти трудности являются общими и для небесной механики, и для физики элементарных частиц, для биологии развития и экономики. Это хорошо известно нам из повседневной жизни, но это требует совершенно новых взглядов в науке. Фундаментальные науки, смотрящие сверху вниз, должны перевести свой взгляд вверх, от основ к явлениям. Для этого требуются новые концепции, модели, которые показывали бы суть имеющихся проблем и прокладывали бы новые пути нашему мышлению. “Моделей мира”, которые превращаются в сотни уравнений при обсуждении конкретных вопросов, совершенно недостаточно. Они лишь затемняют те проблемы, которые им следовало бы осветить. Зьание добывается в борьбе ради того, чтобы отыскать существенное и представить его “в двух словах”.

Мышление в образах

Как это можно было бы осуществить, если бы диагноз Фауста оказался правильным?

... Но у природы крепкие затворы. То что она желает скрыть в тени таинственного своего покрова, Не выманить винтами шестерни, Ни силами орудья никакого.

... но, может быть, это возможно сделать с помощью дьявола?

Многие, и ученые в не меньшей степени, чем люди искусства и обеспокоенные родители, воспринимают компьютер как дьявольский инструмент. Некоторые с первого же взгляда на машину становятся ее рабами. Должна же быть на это какая-то причина.

В самом деле, это новое средство познания позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. Главным образом это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Она, несомненно, может подарить нам фантастические миры, окружить нас искусственными пейзажами и заставить забыть действительность. Но если использовать ее не бездумно, то она может нам помочь приподнять покров над тайнами природы.

Там, где предыдущие поколения ученых были вынуждены существенным образом упрощать свои уравнения или вообще отказываться от них, мы можем увидеть их суть на экране дисплея. Естественные процессы, представленные графически, можно постичь во всей их сложности, опираясь на нашу интуицию. При этом стимулируются новые идеи, новые ассоциации и у каждого, кто мыслит в образах, пробуждается творческий потенциал.

Математики, и особенно физики, всегда мыслили образами; даже более того, они использовали эстетические категории в качестве критерия, если не истины, то по крайней мере завершенности. Герман Вейль, один из наиболее выдающихся немецких математиков, 100-летие со дня рождения которого отмечалось в 1985 году, откровенно признавался:

“В своей работе я всегда пытался объединить истину с красотой, а когда мне приходилось выбирать между ними, я обычно выбирал красоту”.

В подобных высказываниях содержится глубокая вера в единство науки и искусства. В отзывах на наши картины довольно часто выражалась надежда на то, что это единство станет более наглядным, не похожим на ту далеко упрятанную красоту, которая доступна лишь небольшому числу посвященных, как, например, в случае теории гравитации Эйнштейна. Является ли это упрощением? Возможно. Но не в первый раз ремесло служит духу.

Преобразование уже началось. Границы между традиционными дисциплинами утрачивают отчетливость. Уже возникли центры по изучению “сложной динамики”, “нелинейных явлений” и других подобных вещей, предусмотрительно не уточняющие, какие явления — физики, химии, биологии или совершенно других областей — они рассматривают. На семинарах в этих центрах изучаются как метаморфозы растений и животных, так и проблемы физики плазмы, психологии восприятия или социального поведения. Растет уверенность в том, что процессы образования структур и самоорганизация развиваются в соответствии с небольшим числом сценариев, не зависящих от конкретной системы. В ФРГ, например, Герман Хакен из Штутгартского университета с конца 60-х годов направлял свою деятельность на создание “синергетики”. Являясь одним из основателей теории лазеров, он обнаружил, что образование внутренних структур в лазере происходит в соответствии с законами, очень напоминающими конкуренцию молекулярных видов, которую описал Манфред Эйген (Институт Макса Планка в Геттингене) в своих исследованиях ранней эволюции жизни. Синергетика целенаправленно пытается отыскивать правила, по которым возникает порядок в сложных системах.

Наши рисунки относятся к этому направлению. Они касаются хаоса и порядка, их конкуренции или сосуществования. Они показывают переход от одного к другому и то, какой изумительно сложной является область перехода вообще. И восхищение, вызываемое красотой изображенных на картинах областей, не может отвлечь нас от центрального вопроса о том, как структура границ зависит от параметров. Это приводит нас к границам другого уровня и открывает закономерности, о существовании которых несколько лет назад никто и не подозревал.

Рассматриваемые здесь процессы возникают в различных физических и математических задачах. Все они имеют одно общее — это конкуренцию нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате такого соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки.

Именно в этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой: от порядка к беспорядку, от намагниченного состояния к ненамагниченному в зависимости от интерпретации тех сущностей, которые примыкают к границе. Пограничные области в большей или меньшей мере замысловато зависят от условий, характеризующих изучаемый процесс. Порой возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет “границы” в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению. Это так сказать “диссиденты”, не желающие “принадлежать”.

Рисунки представляют процессы, являющиеся, конечно, весьма упрощенной идеализацией действительности. Они преувеличивают некоторые свойства, чтобы сделать их более ясными. Например, нет ни одной реальной структуры, которую можно было бы последовательно увеличивать бесконечное число раз и которая выглядела бы при этом неизменной. Тем не менее принцип самоподобия в приближенном виде имеется в природе: в линиях берегов морей и рек, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в иерархической организации живых систем. А открыл нам глаза на эту фрактальную геометрию природы Бенуа Б. Мандельброт.

На самом деле процессы, порождающие такие структуры, довольно давно изучаются в математике и физике. Это обычные процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной итерации является начальным значением для следующей:

Единственное, что при этом требуется, — нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон x _n+1= f(x _n) должен быть более сложным, чем простая пропорциональность x _n+1 = k x _n. Схематическая диаграмма указывает на то, что правило х ® f{x) зависит от параметра с, влияние которого будет обсуждаться ниже.

Если начать итерационный процесс указанного вида с некоторого произвольного значения x ₀, то его результатом будет последовательность x ₁ , x ₂ ,..., поведение которой по истечении достаточно большого периода времени и будет составлять предмет нашего интереса. Будет ли последовательность сходиться к некоторому предельному значению X, стремясь к состоянию покоя? Придет ли она к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь? Или эта последовательность все время ведет себя беспорядочно, хотя и определена динамическим законом и конкретным начальным значением, но тем не менее непредсказуема?

Процессы указанного вида обнаруживаются в любой точной науке. Так, описание явлений природы с помощью дифференциальных уравнений, которое ввели около 300 лет назад Исаак Ньютон и Готтфрид В. Лейбниц, основано на принципе обратной связи. Динамический закон определяет положение и скорость частицы в данный момент времени через их значения в предыдущий момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона. Несущественно, будет ли процесс дискретным, т. е. осуществляемым по шагам, либо непрерывным. Физикам нравится мыслить в терминах инфинитезимальных единиц времени: natura non facit saltus. Биологи, напротив, часто предпочитают рассматривать изменения от года к году или от поколения к поколению. Очевидно, допустимы обе точки зрения, а выбор подходящего описания определяется обстоятельствами.

Сценарий проникновения в хаос

Рассмотрим пример. Рост некоторой популяции за несколько лет обычно описывают при помощи коэффициента прироста, т. е. отношения ежегодного прироста численности популяции к ее общей численности. Если эта величина остается постоянной в течение всего периода времени, то говорят, что закон роста является линейным, а сам рост называют экспоненциальным. Например, при коэффициенте прироста в 5% популяция удваивает свою численность каждые 14 лет. Законы такого типа, однако, применимы только на ограниченных промежутках времени. Для роста всегда существуют пределы.

Одним из первых обратил на это внимание П. Ф. Ферхюльст, сформулировав в 1845 году закон, содержащий ограничение на рост. Он объяснил это тем, что любая экологическая ниша может обеспечить существование популяции только определенного максимального размера Х и что коэффициент прироста должен снижаться, когда размеры популяции приближаются к X. Таким образом, он пришел к необходимости рассматривать переменный коэффициент прироста. В результате этого процесс становился нелинейным, что коренным образом изменило его динамическое поведение.

Прошло более ста лет, прежде чем были осознаны все вытекающие из этого проблемы. При малых коэффициентах прироста, очевидно, ничего особенного не произойдет: численность популяции будет просто регулироваться так, чтобы достичь оптимального значения X, увеличиваясь когда она меньше его, и уменьшаясь, когда больше. Однако, как только коэффициент превысит 200%, нас ожидают сюрпризы.

Существуют ли в природе такие большие коэффициенты прироста? Конечно, человеческая популяция так быстро не растет, но для определенных видов насекомых такой коэффициент не является необычным. Важно то, что в последние 20 лет закон Ферхюльста нашел применение для значительно более широкого круга явлений, чем представлял себе сам Ферхюльст. Эдвард Н. Лоренц, метеоролог из Массачусетского технологического института, обнаружил в 1963 году, что именно этот закон описывает некоторые свойства турбулентного потока, в частности когда коэффициент велик. Затем теоретические исследования по лазерной физике, гидродинамике и кинетике химических реакций продемонстрировали принципиальный характер этого закона, и предсказанные им сценарии были обнаружены в экспериментах.

Но как же ведет себя процесс Ферхюльста, когда коэффициент становится большим? Подробный анализ дан в специальном разд. 1.

Упомянем только наиболее важные результаты. Когда параметры роста превысят 200%, становится невозможным достижение оптимальной численности X. Когда популяция мала, энергичный рост неизменно приводит к превышению оптимального размера, что вызывает ответную реакцию, в результате которого популяция уменьшается до размеров, значительно меньших X. После этого появляются устойчивые колебания между двумя размерами, большим и меньшим (см. рис. 18).

Когда параметр роста превысит 245%, происходит дальнейшее усложнение поведения. Колебания происходят сначала между 4, затем 8, затем 16 различными величинами численности популяции и так далее, до тех пор пока для параметров, больших 257%, не возникает хаос.

Что мы понимаем под хаосом? Попросту говоря, система выходит из-под контроля. Не существует способа предсказать ее поведение на длительное время. Беспорядочные скачки вверх и вниз на рис. 20 упорно продолжаются и никогда не превратятся в упорядоченную последовательность. Чтобы понять удивление, которое испытал Лоренц при этом открытии, напомним, что никакой неопределенности не предполагается. Процесс по-прежнему описывается законом Ферхюльста, последовательность определена своим начальным значением — и все же ее поведение невозможно предсказать, остается предоставить процессу развиваться самому по себе.

Эта очень тонкая ситуация требует некоторого более подробного объяснения. Утверждение о том, что последовательность определена своим начальным значением, подразумевает возможность определения последующих значений с бесконечной точностью. Это является верным только “в принципе”. Любое реальное описание начальной величины, например ее представление в компьютере, можно получить только с конечной точностью. Изучаемый процесс можно сравнить с получением информации: чем дольше мы его будем наблюдать, тем лучше будем знать в ретроспективе точную величину начального значения.

И все же наиболее впечатляющим в динамике Ферхюльста является не хаос как таковой, а сценарий, по которому порядок превращается в хаос. Имеет ли смысл точно определять значения параметров роста, при которых происходят бифуркации от колебаний периода 2ⁿ к колебаниям периода 2ⁿ⁺¹ ? Кому это нужно?

Но педантичность часто стояла у колыбели важных открытий. Иоганн Кеплер не открыл бы эллиптической формы орбит движения планет, если бы не был обеспокоен небольшим отклонением в 8 угловых минут орбиты Марса от предсказаний теории Птоломея. Фридрих Вильгельм Бессель не смог бы определить расстояние от Солнца до ближайших неподвижных звезд, не научившись точнейшему использованию чисел и таблиц во время своего ученичества у одного из бременских торговцев. Научная работа всегда зависит от самого скрупулезного внимания к деталям даже тогда, когда становится ясной качественная сторона. А как известно всем, кому приходилось искать ошибки в какой-либо программе, для этого нет лучшего инструмента, чем компьютер.

При точном анализе точек бифуркации в процессе Ферхюльста обнаруживается закономерность, имеющая исключительное значение в мире нелинейных явлений. Закономерность касается длин интервалов значений параметра, при которых устойчивым является периодическое движение с некоторым определенным периодом. Эти интервалы сокращаются при каждом удвоении периода, причем множитель, характеризующий сокращение, приближается к универсальному значению

d ¹ = 4.669201660910...,

когда период растет.

Это число, первые десятичные знаки которого были впервые опубликованы Гроссманном и Томэ в 1977 году, появляется снова и снова во многих других процессах. Оно является такой же характеристикой для сценариев удвоения периодов, как число тг для отношения длины окружности к ее диаметру. Это число называют теперь “числом Фейгенбаума”. Митчел Фейгенбаум проделал вычисления на своем калькуляторе в Лос Аламосе для целого ряда различных процессов и получил в каждом случае один и тот же множитель. Он открыл универсальность этого числа.

Это открытие вызвало невероятную активность ученых во многих областях науки. Было поставлено огромное число экспериментов, показавших, что сценарий удвоения периода действительно наблюдается во многих естественных системах. Это и начало турбулентности в потоке жидкости, и нелинейные колебания в химических или электрических сетях, и даже переход нормального ритма сердца в угрожающую жизни фибрилляцию. И мы просто не в состоянии перечислить все группы в США, Франции, ФРГ или где-либо еще, продемонстрировавшие, что существенные аспекты динамики сложных систем можно свести к поведению, пример которого дает уравнение Ферхюльста.

На теорию это оказало не менее сильное воздействие. Математики все еще пытаются до конца понять эту неожиданную универсальность. Но, по-видимому, более важно, что она породила надежду на то, что нелинейные явления не лежат за пределами систематизации и научной классификации.

Одним из первых, кто осознал важность изучения процесса Ферхюльста, был биолог Роберт М. Мэй. Еще в 1976 году он писал:

Поэтому я настоятельно советую, чтобы люди знакомились, скажем (с уравнением Ферхюльста), на раннем этапе своего обучения математике. Это уравнение можно изучать феноменологически, итерируя его на калькуляторе или даже вручную. Его изучение даже не требует всего множества сложных понятий, какие используются в элементарном анализе. Такое изучение очень обогащало бы интуитивные представления учащегося о нелинейных системах.

Для всех нас было бы лучше, если бы не только в научной работе, но и в повседневной политической и экономической жизни как можно больше людей поняло, что простые нелинейные системы не всегда обладают простыми динамическими свойствами.

Пограничные стычки: хаос, возникающий из конкуренции

Для понимания нелинейных явлений бифуркационный сценарий приобретает фундаментальное значение. Анализ процесса Ферхюльста превратил идею детерминированного хаоса в важный предмет обсуждения и выявил некоторые универсальные свойства сложных динамических процессов. Универсальность следует истолковывать правильно. Конечно, существуют и другие пути к хаосу; на самом деле были открыты и другие сценарии столь же общего характера. Понятие универсальности отчасти отражает тенденцию физиков и математиков использовать слова, звучащие многозначительно. На самом деле оно означает, что некоторое поведение является типичным, и это более или менее удивительная находка среди всего многообразия систем.

Крайне желательно установить принципы, характеризующие соотношения между индивидуальными сценариями Бенуа Б. Мандельброту это удалось сделать в 1980 году, когда он обнаружил множество, носящее теперь его имя. Это не просто причудливая фигура, которая кому-то кажется прекрасной, а кому-то безобразной; множество Мандельброта воплощает в себе более общий, чем универсальность Фейгенбаума, принцип перехода от порядка к хаосу. Здесь, как это часто бывает в математике, обнаруживается связь эстетической привлекательности с фундаментальным значением.

Идея, использованная Мандельбротом, состояла в том, чтобы вместо действительных чисел рассмотреть комплексные и наблюдать процесс x₀® x₁® x₂... не на прямой, а в плоскости. Читателю, не знакомому с комплексными числами, отчаиваться здесь не стоит: достаточно лишь представить себе, что правило x_n® f(x_n) указывает, куда должна переместиться точка в плоскости, а не на прямой. Конкретный вид правила не является существенным, поскольку, как мы увидим, различные правила могут порождать то же самое множество Мандельброта. Более важным является то, что переход от порядка к хаосу описывается с более общей точки зрения. В центре внимания оказалась природа границ между различными областями. Можно представить себе центры — аттракторы, — которые ведут борьбу за влияние на плоскости; любая начальная точка ль либо в течение процесса приходит к тому или другому центру, либо лежит на границе и не может принять определенное решение. С изменением параметра изменяются и области, принадлежащие аттракторам, а вместе с ними и границы. Может случиться, что граница превратится в пыль, и такой распад представляет собой один из наиболее важных сценариев.

Процесс Мандельброта математически эквивалентен процессу Ферхюльста. Формула такая же простая:

x_{n +1}= f(x_n) = x²_n + С.

Выбрав произвольное число Хо, возведем его в квадрат и прибавим константу с для того, чтобы получить Xi; затем повторим вычисления для того, чтобы получить Хг, Хз, и т. д. Это под силу каждому. Но никто не ожидал, что в таком итерировании может скрываться столько загадочной красоты.

Давайте начнем с простейшего из возможных значений константы с, а именно с = 0. Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат числа: x₀® x²₀® x₀⁴® x₀⁸® ... . Для этой последовательности в зависимости от Хо имеются три возможности:

1. Числа получаются все меньшими и меньшими, их последовательность приближается к нулю. Мы говорим, что нуль является аттрактором для процесса x® x². Все точки, находящиеся на расстоянии меньше 1 от этого аттрактора, движутся к нему.

2. Числа становятся все большими и большими, стремясь к бесконечности. Мы говорим, что бесконечность также является аттрактором для этого процесса. Все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от нуля, движутся к бесконечности.

3. Точки находятся и продолжают оставаться на расстоянии 1 от нуля. Их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в нуле.

Ситуация ясна. Плоскость делится на две зоны влияния, а границей между ними является просто окружность.

Сюрпризы начнутся, когда мы выберем ненулевое значение с, например с = - 0.12375 + 0.56508i. Здесь для последовательности x₀® x₁® x₂... также имеются три из перечисленных выше возможностей, но внутренний аттрактор (отмеченный точкой на рис. 3) уже не является нулем, а граница уже не является гладкой. На рис. 3 видно, что эта граница сильно изломана. Причем под лупой она выглядит столь же изломанной, как и без нее. Именно это Б. Мандельброт назвал фрактальной структурой такой границы. Она напоминает линию морского берега, многие естественные границы, которые становятся явно тем длиннее, чем более мелкий масштаб используется для их измерения. Одной из характерных особенностей этой границы является ее самоподобие. Если взглянуть на любой из ее поворотов или заливов, то можно обнаружить, что одна и та же форма встречается в различных местах и имеет разные размеры.

Границы такого рода в математике называют множествами Жюлиа. Во время первой мировой войны французские математики Гастон Жюлиа и Пьер Фату изучали их свойства для более общего случая рациональных отображений в комплексной плоскости (см. специальный разд. 2).

Их увлекательная деятельность оставалась в основном неизвестной даже для большинства математиков, поскольку в отсутствие современной компьютерной графики было почти невозможным передать их тонкие идеи. Например, Жюлиа и Фату было хорошо известно о самоподобии, они установили, что всю границу можно восстановить по любой произвольно малой ее части, используя конечное число итераций формулы x® x² + с (ср. со свойством (2.8)). Но насколько проще понять это свойство, глядя на изображения, подобные показанным на рис. 3, 4, 6—15, чем с помощью рассуждений о смысле такого утверждения.

Другой общей чертой множеств Жюлиа является то, что они заключают в себе невероятно сложную динамику. На границе процесс хаотичен настолько, насколько возможно. Этого нельзя увидеть при помощи статического изображения на рис. 3, но цветное изображение на фото 20 дает большее представление об этом. Множество Жюлиа содержит неустойчивую неподвижную точку отображения x® x² + с вместе со всеми ее прообразами; оно содержит и бесконечное число неустойчивых периодических последовательностей также вместе с прообразами, и, кроме всего этого, оно содержит хаотические последовательности точек, которые никогда не стремятся к какой-нибудь регулярности. Это можно только целиком наблюдать на дисплее компьютера “in vivo”. Можно также перевести изображение в звуки и испытать на себе влияние этой “музыки”. Одним из очаровывающих эффектов является так называемая прерывность, которая возникает, когда процесс попадает в окрестность периодической точки: одна и та же тема повторяется более или менее часто. Когда она наконец прекращается, ухо ощущает особую напряженность. Соответствующий зрительный эффект не является таким сильным.

Если опять выбрать новое значение с, скажем с = - 0.12 + 0.74i, то получим рис. 4. Здесь множество Жюлиа уже представляет собой не единственную деформированную окружность, а состоит из бесконечного числа деформированных окружностей, образующих, однако, связное множество. Внутренние точки этого множества притягиваются не одной неподвижной точкой, а циклом из трех точек, отмеченных на рисунке более крупно.

Существует правило, указывающее, какой вид имеет множество Жюлиа при каждом конкретном выборе с. Это правило и приводит к множеству Мандельброта М. Оно представлено на рис. 2 как закрашенная черным цветом часть комплексной с-плоскости. Каждое комплексное число с либо принадлежит черной структуре М, либо нет. Соответствующие множества Жюлиа процесса x® x² + с существенно различаются. Они представляют собой связные структуры, когда с лежит внутри М, и рассыпаются на бесконечное число кусочков, когда с лежит снаружи. Поэтому граница множества М вызывает исключительный интерес. Представим себе некоторый путь в с-плоскости, начинающийся внутри М и заканчивающийся вне его. Если менять с, двигаясь вдоль этого пути, то самые драматические качественные изменения происходят с соответствующими множествами Жюлиа тогда, когда с пересекает границу М: они, как будто взорвавшись, превращаются в облако из бесконечного числа точек. В этом смысле граница множества М определяет момент математического разового перехода для множеств Жюлиа отображения х '- л-² + с. Кроме того, различным частям М отвечают некоторые качественные утверждения о множестве Жюлиа, имеющие место для значения с из этих частей. Например, кардиоида, очерчивающая главное тело, содержит все значения с, при которых множество Жюлиа будет более или менее деформированной окружностью, охватывающей область притяжения некоторой неподвижной точки (рис. 3).

Аттрактор, сопоставляемый каждой почке на М по хорошо известной схеме, представляет собой некоторый цикл определенного периода. Значение с, соответствующее рис. 4, есть центр самой большой “луковки” сверху от основной части М. Цикл периода три появляется в результате трифуркации неподвижной точки, когда параметр с переходит из основной части в соответствующую почку. Ферхюльстов сценарий удвоения периода наблюдается на действительной оси. Период два будет устойчивым внутри большой почки, которая включает интервал -1.25 < с < - 0.75 на действительной оси и примыкает к основному телу с левой стороны. Точка с = - 2 является крайней точкой антенны множества М и соответствует значению r = 3 для процесса Ферхюльста (см. специальный разд. 1). Рисунок 5 иллюстрирует эту связь и наглядно показывает, насколько более полную картину дает выход Мандельброта в комплексную плоскость по сравнению с анализом на действительной оси.

На что же похоже множество Жюлиа для значений с из какой-либо почки множества М, примыкающей к основному телу? Один из примеров показан на рис. 6.

Значение с == - 0.481762 - 0.531657 г соответствует месту прорастания почки, дающей устойчивые циклы периода 5. Все пять точек таких циклов отщепляются от жирной точки на рис. 6, когда с переходит внутрь почки. В этой точке ветвления множество Жюлиа стягивает теперь уже маргинально устойчивый аттрактор. Это называется параболическим случаем динамики. На рис. 8 и 9 показаны еще два примера множеств Жюлиа подобного вида.

Помимо точек прорастания почек, основное тело множества Мандельброта обладает граничными точками совершенно иных типов. Для с = - 0.39054 - 0.58679i получим рис. 7; в этом случае неподвижная точка тоже будет маргинально устойчивой. В отличие от параболического случая граница не подходит к неподвижной точке, да и остальные точки при движении ее тоже не достигают. Окружности, охватывающие неподвижную точку, являются инвариантными, т. е. выбрав начальную точку на какой-нибудь из этих окружностей, мы ее уже никогда не покинем при последующих итерациях. Внутри области, ограниченной множеством Жюлиа, процесс протекает следующим образом: сначала точки перескакивают из меньших, периферийных, почек в большие до тех пор, пока не попадут внутрь диска, содержащего неподвижную точку. Этот диск назван диском Зигеля в честь немецкого математика Карла Людвига Зигеля. После того как точки попадают туда, они начинают просто вращаться вокруг неподвижной точки по своим инвариантным окружностям.

Эти четыре примера иллюстрируют все типичные случаи, когда граница, порожденная процессом x® x² + с, охватывает область с внутренними точками. Итак:

— Если с лежит внутри основного тела множества Мандельброта, то некоторая фрактально деформированная окружность охватывает единственную притягивающую неподвижную точку (рис. 3).

— Если с лежит внутри одной из почек, то множество Жюлиа состоит из бесконечного числа фрактально деформированных окружностей, охватывающих точки периодического аттрактора и их прообразы (рис. 4, 10).

— Если с является точкой прорастания почки, то имеет место параболический случай; граница имеет усики, дотягивающиеся до маргинально устойчивого аттрактора (рис. 6, 8, 9).

— Если с является любой другой точкой границы кардиоиды или почки (имеются некоторые технические условия относительно иррациональности точки), то мы имеем диск Зигеля (рис. 7).

В фундаментальной математической работе в 1983 году Деннис Салливан показал, что указанные четыре случая описывают все возможные характерные структуры, которыми может обладать область, ограниченная множеством Жюлиа, за исключением одной. Пятая возможность, так называемые кольца Эрмана, не реализуется в случае x® x² + с; хотя и доказано, что она реализуется в других случаях, никто ее никогда не наблюдал (см. специальный разд. 3).

На фотографиях 18, 20, 24 цвет был использован, чтобы продемонстрировать внутреннюю структуру областей притяжения (а также диска Зигеля на фото 22, 25). На фото 20 показан случай, в котором вдобавок к аттрактору на бесконечности имеется еще одна неподвижная точка. Цветовая градация показывает, сколько итерационных шагов отображения x® x² + с требуется для того, чтобы та или иная точка попала в некоторый заранее выбранный маленький диск, содержащий аттрактор. Один и тот же цвет означает одно и то же динамическое расстояние от соответствующего центра притяжения. Таким образом, во внешней области окраска количественно характеризует движение по направлению к бесконечности, в то время как внутренняя окрашена в соответствии с направлением ограниченных движений этой области. На фото 24 представлен притягивающий цикл периода 3, на фото 18 — цикл периода 11. В случае диска Зигеля (фото 22) линии уровня движения параллельны инвариантным окружностям.

Эти примеры отнюдь не исчерпывают список всех возможных структур множеств Жюлиа; имеются и другие возможности. Как видно на рисунках, множество Мандельброта М окружено иглоподобными, более или менее разветвленными и изогнутыми антеннами. Если мы поместим с на самый конец одной из таких антенн, то получим и множества Жюлиа подобной формы. На рис. 12 показан пример с = i. Такие дендриты не имеют внутренности; аттракторов, отличных от единственного аттрактора на бесконечности, нет. Здесь множество Жюлиа представляет собой границу одной-единственной области притяжения и содержит те точки, которые не приближаются к этому аттрактору. До тех пор пока с принадлежит М, множество Жюлиа остается связным. Согласно теореме Адриена Дуади из Парижа и Джона Хамал Хаббарда из Корнелльского университета, множество Мандельброта также связно (см. специальный разд. 4).

При более внимательном рассмотрении оказывается, что каждая антенна множества М содержит множество маленьких копий большого множества М. Они как бы нанизаны на нити, и между двумя большими копиями имеется еще одна, меньшая, и так далее без конца. Окна, соответствующие устойчивым аттракторам внутри области хаотичности для процесса Ферхюльста, являются сечениями этих наростов, что отчетливо видно на рис. 5. Если поместить с в одну из этих миниатюрных копий М, то соответствующее множество Жюлиа окажется некоторой комбинацией дендрита и множества Жюлиа, полученного для соответствующего значения с из основной части М; при этом последнее копируется бесконечное число раз и насаживается на дендрит. На рис. 14 показан пример для с, принадлежащего той части множества Мандельброта, которая представлена на фото 27.

Можно наконец взять значение с вне М. Как и в случае чисто дендрито-вой структуры, единственным аттрактором будет бесконечность, но теперь множество Жюлиа распадается в облако точек, называемое пылью Фату. Эта пыль становится все мельче с удалением точки с от М. Если с находится вблизи границы М, то пыль образует завораживающие фигуры, примеры которых показаны на рис. 11, 13 и 15 и которые всегда фрактальны, самоподобны и несут в себе хаотическую динамику.

Морфология комплексных границ

Если разнообразие множеств Жюлиа кажется ошеломляющим, то насколько более запутанным казалось бы оно без множества Мандельброта! Этот путеводитель в мире параметров говорит нам о том, какого вида множество Жюлиа следует ожидать для данного значения с. Особенно интересна граница М, поскольку именно она указывает на изменение природы множеств Жюлиа. Когда параметр с покидает множество Мандельброта, множества Жюлиа теряют свою связность, взрываются и превращаются в пыль.

Значительная часть наших рисунков получена для этой пограничной зоны. Мы обнаружили там фантастический мир, богатство форм которого контрастирует почти на грани абсурда с простотой формулы x® x² + с. Но не является ли это обычным случаем, когда разнообразие исключительно буйно расцветает на границах? Простые контуры, отражающие противоборство противоположных принципов, являются исключением. Каждый большой конфликт сопровождают тысячи малых. Таким же образом и типичной структуре границы соответствуют аналогичные структуры все меньших и меньших масштабов.

Качественный скачок, происходящий на границе множества Мандельброта, влияет и на примыкающую к границе область. На простом черно-белом изображении этого не видно, (если, например, черный цвет соответствует связным, а белый — разрывным множествам Жюлиа). Сложную динамическую структуру пограничной области можно адекватно отразить только в цвете. Даже 256 использовавшихся для наших рисунков оттенков смогли только дать слабый намек на действительную динамику. Чтобы понять ее истинную сложность, требуется интерактивное экспериментирование на графическом терминале.

Каким образом раскрашивается окрестность множества М? Представим себе, что множество изготовлено из металла и несет на себе электрический заряд. Тогда его поверхность имеет постоянный электрический потенциал, скажем 1000 В. В области, окружающей проводник, потенциал падает до нуля, и мы отмечаем линии постоянного напряжения, так называемые эквипотенциальные линии (рис. 16). Например, линия, соответствующая потенциалу в 1 В, настолько далека от проводника, что выглядит почти окружностью, так как с такого расстояния М кажется почти точечным зарядом. Линия 900 В, напротив, несколько напоминает форму М, а линия 999 В уже довольно точно повторяет его контуры. Раскраска наших рисунков соответствует этим линиям. Все точки, лежащие между двумя такими линиями, окрашены одинаково. Разные цвета дают контурную карту электростатического потенциала между границей М и бесконечностью.

Какое же отношение имеют эти эквипотенциальные линии к динамике процесса x® x² + с? В 1983 году А. Дуади и Дж. Хаббард доказали удивительный математический факт, который говорит о том, что эквипотенциальные линии точно отражают динамику критической точки х = 0. Эквипотенциальные линии являются линиями одинакового времени убегания в бесконечность начальной точки хо = 0 (см. специальный разд. 4).

Такое соответствие между электростатической картиной и динамикой подсказывает простой способ вычисления контурных линий на компьютере. Те значения с, при которых критической точке требуется данное число итераций, чтобы оказаться вне круга радиусом 1000, заполняют промежуток между двумя эквипотенциальными линиями. По мере приближения к границе М необходимое число итераций увеличивается. Точка все большее и большее время вынуждена блуждать извилистыми путями вблизи множества Жюлиа.

Цветные фотографии 26—54 и 99—101 показывают увеличенные части границы М. (Черно-белые изображения помогают определить расположение цветных изображений на М.} Трудно поверить в то, что формула x® x² + с содержит такую массу структур. Можно ли представить более поразительную демонстрацию огромной сложности, заключенной в простейшем законе?

Давайте теперь поразмыслим над рисунками и сделаем некоторые наблюдения. Очевидно, что каждое положение на М задает лейтмотив. При движении вдоль границы М наблюдаются постепенные вариации лейтмотива, например, если начать с рамки на фото 31 и выбирать последовательно все более изогнутые отростки, пока не возникнет морской конек на фото 36. В любом месте главная тема повторяется в бесконечном множестве вариаций. Это видно из серии наблюдений в “долине морских коньков” (фото 34—50), где вплоть до миллионнократного увеличения обнаруживаются все новые и новые созвездия “хвостов” и “глаз” морских коньков.

Другой весьма примечательной особенностью является подобие структуры некоторых деталей множества Мандельброта форме соответствующего множества Жюлиа. Множество Жюлиа на рис. 15 принадлежит значению с около хвоста морского конька (фото 42). Качественное подобие форм очевидно. Оно является настолько глубоким, что число спиральных отростков, выходящих из глаз, в обоих случаях равно 29.

В многообразии лейтмотивов морфологии множеств Жюлиа присутствует одно постоянство: само множество Мандельброта, которое проявляется снова и снова, различных размеров, но всегда одной и той же формы. Можно вспомнить генетическую организацию высших организмов: каждая клетка содержит полный геном, совокупность всех форм проявления, но в любой точке организма на самом деле проявляется только некоторая малая часть этих форм.

Мы отмечали ранее, что доказана связность множества М: ни одна из частей М не отделена от основного тела, но все они связаны вместе исключительно тонкими линиями. Именно в этом отношении нас интригуют фото 58—60. Мельчайшая деталь границы М, показанная в трех разных вариантах раскраски, дает представление о изумительной системе мостов, необходимой для обеспечения связности.

Мы приглашаем читателя, знакомясь с этими картинками, попытаться найти свои собственные ассоциации и просим извинить нас, если наши интерпретации кажутся слишком фантастическими. Естественно, у нас имеется некоторое пристрастие к результату, который как научная работа отнял много часов компьютерного времени, да и для создания цветной композиции потребовал с нашей стороны немалых усилий. И все же мы считаем, что причиной нашего восхищения является существо предмета, а именно фантастическая феноменология этих сложных границ, так и приглашающих к эстетическому наслаждению. Мы допускаем, что некоторые свойства, относящиеся к рисункам, не очень естественны. Бесконечная микроскопическая глубина, на которую, кажется, простирается самоподобие, является математической конструкцией, не существующей в реальном мире. Физические объекты редко оказываются самоподобными при увеличении более чем на четыре порядка. В биологии новые принципы самоорганизации проявляются обычно при увеличении на 2 порядка (макромолекулы имеют диаметр, примерно равный 100 атомам, простые клетки — диаметр около 100 макромолекул и т. д.). Следовательно, процесс x® x² + с не дает точного описания реального мира. Но мы и не пытались утверждать обратное! Каждый закон имеет свою область применения, которую нужно точно определить. Область применимости линейных законов теперь недостаточна, по крайней мере в физике, поэтому появилась необходимость выяснить, как нелинейные законы могут помочь нам понять окружающий мир. На этом пути изучение квадратичного закона x® x² + с имеет фундаментальное значение. Открытие Мандельбротом универсальной фигуры М, несомненно, является событием, влекущим за собой серьезные последствия для теории динамических систем.

Сложные ньютоновы границы

Сэр Исаак Ньютон заложил основы классической механики, оптики, исчисления бесконечно малых. Но, кроме этих основ естественных наук, он открыл еще множество менее известных методов, с пользой применяющихся и сегодня. Например, так называемый алгоритм Ньютона отыскания корней уравнения f(x) = 0 сейчас находит даже большее применение, чем раньше, поскольку вычислительные машины дают возможность с помощью этого метода получить результат значительно быстрее и точнее, чем это может сделать человек. Некоторая часть рисунков этой книги посвящена именно этому методу.

Алгоритм Ньютона — это некий остроумный прием. Он трансформирует задачу нахождения решений уравнения f(x) = 0 в динамический процесс, в котором различные решения конкурируют за начальные предположения. Чтобы начать, не требуется знать точного решения. При любом начальном значении алгоритм Ньютона приводит к значению, более близкому к одному из решений. Решения действуют как центры притяжения поля сил (одна из любимых Ньютоном тем!)

Насколько далеко простирается влияние притяжения различных центров и на что похожа граница между ними? Впервые этим вопросом всерьез занялся лорд Артур Кэли в 1879 году; но в конце концов ему пришлось оставить этот вопрос, поскольку он оказался слишком сложным. Подробности анализа Кэли и его дальнейшее развитие представлены в специальном разд. 6. Здесь все же следует отметить, что проблема, с которой столкнулся лорд Кэли, явилась для Жюлиа и Фату начальной точкой в построении великолепной теории итераций рациональных функций на комплексной плоскости.

Мы не упомянули еще одну особенность множеств Жюлиа, хотя именно она придает особое очарование таким примерам, как картинки магнитных полей на фото 6 и 10. Независимо от числа аттракторов, расположенных на плоскости, каждая точка множества Жюлиа одновременно касается областей притяжения всех аттракторов. В случае трех аттракторов каждая точка границы будет местом, в котором встречаются все три области! Все это звучит неправдоподобно, но “планета” на фото 75 показывает, как это происходит. Желтым, голубым и серым цветом окрашены определяемые алгоритмом Ньютона области влияния для корней некоторого полиномиального уравнения. Где бы ни встретились, чтобы образовать границу, две области (например, окрашенные в желтый и голубой цвета), третья область (серая) направляет туда цепочку своих сторожевых постов. Чтобы эти сторожевые посты не сформировали двусторонние границы со своими соседями, они в свою очередь окружаются цепочками островов, образуя структуры, повторяющиеся вновь и вновь до бесконечно малых размеров. Маленькая луна на фото 75 показывает обратную сторону планеты. На фото 76 та же планета раскрашена по-другому. Здесь сложная структура границы (т. е. множества Жюлиа) подчеркивается белым подсвечиванием ее центральной части.

Такое кажущееся почти невозможным построение границ между тремя “странами” можно без каких-либо математических затруднений распространить на случай 4, 5, 6.. конкурирующих областей. Граница при этом составляется лишь из точек, где встречаются 4, 5, б... стран. На фото 61 показана полярная шапка планеты, четыре области которой (красная, зеленая, синяя и желтая) устанавливают границу из четырехсторонних точек. На фото 62 та же самая область окрашена по-другому, а на фото 63 показана другая интерпретация этой структуры. Серые луны, добавленные “для красоты”, имеют такой же ландшафт, как и на фото 75.

Фотографии 90—98 показывают шаг за шагом результаты другого способа “оживления”. Фото 90 повторяет структуры фото 75 и 76 с границами, составленными из трехсторонних точек. С другой стороны, фото 98 можно уже принять за иную версию фото 61—63, где множество Жюлиа состоит из четырехсторонних точек. Последовательность изображений показывает, как на нашей фантастической планете образуются новые континенты, постепенно превращаясь, сменяя структуру, составленную из трех областей, на структуру, содержащую четыре области. Проценты указывают относительное время, прошедшее от начала оживления. Кажется, что с границами происходят какие-то кризисы: они напоминают линии разломов. На фото 89 в других красках показана исключительно интересная промежуточная структура с фото 94.

Применение метода Ньютона не ограничивается задачами в комплексной плоскости. Преимущество комплексных чисел в том, что для них хорошо разработана используемая нами математическая дисциплина, а именно теория итераций Жюлиа и Фату. Соответствующей теории для действительных функций нет. И все же некоторые из наиболее впечатляющих картин получены как раз в этом контексте. Интересующиеся их математическим содержанием могут прочитать об этом в специальных разд. 8 и 9. Очевидно, что природа фотографий 17, 19, 21, 23, 55—57, 67—74, 87, 88 отлична от природы изображений, рассмотренных до сих пор. Кажется, что процессы в комплексной плоскости порождают узоры почти в стиле барокко, в то время как итерации действительных функций стремятся к созданию более современных форм. Читатель может позабавиться угадыванием, какого вида итерации он рассматривает. Мы точно не знаем, в чем причина различий в восприятии, но должны также признать, что и чисто математические особенности этих последних картин далеко не полностью поняты

Наука и/или искусство

Когда летом 1983 года у нас появилась мысль о публичной выставке “картин из теории динамических систем”, мы думали, что эстетическая привлекательность картин будет достаточной сама по себе. Какими же мы были наивными и как недооценили нашу общественность! То, что было простой забавой при нашей научной работе, вдруг стало темой самых серьезных дискуссий. Зрители потребовали объяснений, захотели понять значение всего этого. На нас вдруг свалилась обязаннось объяснять то содержание, которое выражалось этими картинами.

Некоторые наши уважаемые коллеги были обеспокоены тем, что кое-что может превратиться в искусство, не имеющее научного объяснения. С другой стороны, хорошо известный художник Фриц Мексепер из Ворпсведе, в результате долгих поисков сузивший свое восприятие мира до символических представлений, спрашивал, зачем нам нужны изображения, если у нас есть формула x® x² + с. Искусствовед из газеты Die Zeit не считал возможным назвать наши картины искусством на том основании, что в них отсутствовал элемент выбора или свободы выражения. Один знакомый ученый, очень серьезно интересующийся поэзией и живописью как средством выражения своих глубоких переживаний, заявил, что в нашей работе не чувствуется участия творческой личности.

Мы не решаемся комментировать такие отклики. “Искусство — это ложь, позволяющая узнать истину”, — сказал Пабло Пикассо. Утверждение о том, что наш мир нелинеен и сложен, может быть и не такая уж глубокая истина; наш ежедневный опыт никогда не убеждал нас в обратном. Однако физики и математики, а вслед за ними и другие ученые умудрялись успешно ее игнорировать. Сосредоточившись на простых задачах, которые они могли решить, эти ученые оказали сильное влияние на технологию и таким образом радикально изменили облик нашей планеты Теперь, однако, начинает возникать ощущение, что требуется нечто большее, чем понимание линейных явлений. Почти одновременно в разных дисциплинах растет озабоченность тем, что о следствиях нелинейных законов известно совсем немногое. Даже для физиков оказалось сюрпризом существование хаоса в их самых простых уравнениях. Наши картины вселяют оптимизм.

Головоломные на первый взгляд, они все же показывают, что и сложное поддается систематическому изучению и что даже хаос не лишен определенных правил. Регулярность множества Мандельброта вселяет надежду на то, что в мире нелинейных явлений будут найдены более характерные сценарии. Эта надежда основывается на мощи компьютерного эксперимента, который так быстро стал одним из главных источников интуиции и вдохновения.

Но для любого инструмента требуется творческий ум, который найдет ему достойное применение. Было бы несправедливо дискредитировать наши картины, объявив их просто результатом работы машины. Это не так. Их получение предполагает даже избыток свободы выбора как в объективном, так и в субъективном смысле. Как ученые, мы выбираем необходимые нам вопросы, на которые позволяем компьютеру тратить свою мощь. После окончания работы машины мы сталкиваемтся с целой горой информации, которую в таком виде усвоить невозможно. Приходится выбирать. Существует много возможностей для того, чтобы придать этой информации подходящий для дальнейшей обработки вид. При распределении цветов, например, очень субъективным является выбор соотношения между отождествлением и различием: использование одного и того же цвета для различных точек приводит к некоторой потере информации; другие же особенности в результате тщательного подбора цветов по их воздействию на наше эстетическое чувство, наоборот, подчеркиваются.

За два года попыток представить нашу работу заинтересованной общественности самых широких кругов мы пришли к выводу, что художественная деятельность тоже может принести научные плоды. Или все клятвенные заверения математиков и физиков-теоретиков об эстетической компоненте их науки — это лишь слова? Американские математики Филип Дж. Дэвис и Рюбен Херш писали:

Слепота к эстетике математики распространена широко и именно этим объясняется, что математика считается сухой, как пыль, волнующей, как телефонная книга, далекой от жизни, как законоулоясение Шотландии XV в. Наоборот, понимание эстетики математики заставляет предмет жить прекрасной жизнью и гореть, как, по-видимому, никакое другое творение человеческого разума. Может ли эта эстетика проявиться иначе чем в самом поиске математического и естественно-научного знания?

Многие отзывы на наши предыдущие выставки укрепляли наше убеждение в том, что сближение искусства и науки могло бы принести им огромную пользу. Возможность такого сближения не следует понимать, как слепое увлечение всем новым и необычным, а следует рассматривать вполне реалистически в формах “новых средств передачи информации”, прежде всего компьютера. Компьютер больше не является принадлежностью исключительно науки и техники; подрастает молодое поколение компьютерных акробатов, которые обязательно будут развивать свои художественные амбиции. Пока не ясно, куда заведет такое развитие, и не ясно, может быть, как раз в смысле комплексной динамики: вполне определенное и детерминированное, но непредсказуемое, бурлящее в своей поворотной точке, подобно Фаусту во время омоложения в колдовском логове:

И. В. Гёте

1. Динамика Ферхюльста

Модель роста популяции

Пусть x_о — начальная численность популяции, а x_n — ее численность через п лет. Коэффициентом прироста R называют относительное изменение численности за год:

R = (Х _n+1 - Х _n)/ Х _n .

Если эта величина — константа r, то закон, управляющий динамикой, имеет вид

(1.1) x_n+1 =f(x_n ) = (1 + r) x_n .

Через п лет численность популяции будет равна x_n+1 = (1 + r)ⁿ x₀. Для того чтобы ограничить этот экспоненциальный рост, Ферхюльст заставил коэффициент прироста R меняться вместе с изменением численности популяции. Считая, что численность популяции, заполняющей данную экологическую нишу, не может быть больше некоторого максимального значения Х (которое можно положить равным 1), он предположил, что зависящий от размеров популяции коэффициент прироста R пропорционален величине 1 - x_n , т. е. положил R = r(1---x_n); константу r мы будем называть параметром роста. Таким образом, когда x_n < 1, численность популяции по-прежнему растет, но лишь до тех пор, пока не будет достигнуто значение x_n = 1, при котором рост прекращается.

(1.2) x_n+1 =f(x_n ) = (1 + r) x_n - r x_n²

Для x₀ имеются два значения, при которых численность популяции не изменяется: x₀ = 0 и x₀= 1. Когда x₀ = 0, популяция попросту отсутствует с самого начала, а в этом случае вообще никакой рост невозможен. Однако если начальная численность хоть немного отлична от нуля, 0 < x₀<< 1, то при r > 0 на следующий год она возрастет: x₁» x₀ + r x₀. Следовательно, состояние равновесия x₀ = 0 является неустойчивым. Последовательные значения x₀, x₁, x₂ , ... растут до тех пор, пока они успешно не достигнут значения 1. Для того чтобы определить характер устойчивости состояния равновесия x₀ = 1, проследим, как изменяются во времени малые отклонения d _n = x _n — 1. Линеаризуя (1.2), найдем

(1.3) d _n+1 » (1 - r) d _n ,

откуда видно, что по абсолютной величине d _n+1 меньше, чем d _n , когда 0 < r < 2. График на рис. 17 соответствует случаю r = 1.8, в качестве начального значения выбрано x₀ = 0.1. Величина х поначалу растет, поскольку она заметно меньше 1. Но на третьем шаге ее значение уже немного выше указанного уровня. Начиная с этого момента, отклонения убывают по абсолютной величине в соответствии с (1.3), d _n+1 » - 0.8 d _n , и процесс приближается к нужному конечному состоянию х = 1. Однако при r > 2 соотношение (1.3) предсказывает рост отклонений 6п, и мы приходим к выводу, что состояние равновесия х = 1 теперь уже неустойчиво. Чтобы продолжить исследования, проведем эксперимент, результаты которого представлены на рис. 18. График показывает, что при r = 2.3 процесс в конце концов начинает периодически осциллировать между двумя уровнями. Это наводит на мысль рассмотреть первую итерацию соотношения (1.2), x_n+2 =f(f(x_n ))=f² (x_n ) , и исследовать устойчивость неподвижных точек отображения f ². Они оказываются устойчивыми до тех пор, пока r<O 6 = 2.449.

Переход от порядка к хаосу

С ростом r анализ соотношения (1.2) все более усложняется. Для r = 2.5 вид ломаной линии на рис. 19 позволяет заключить, что в этом случае процесс приходит к устойчивым периодическим колебаниям с периодом 4, а в дальнейших экспериментах обнаруживается последовательное удвоение периода колебаний при все ближе расположенных друг к другу значениях r. Наконец при r = 2.570 процесс вообще перестает быть периодическим. Теперь он все время прыгает около бесконечного числа значений так, что поведение процесса, несмотря на его полную изначальную детерминированность, практически невозможно прогнозировать на большие периоды времени. Подобное поведение обычно называют хаотическим. Примером может служить последовательность, показанная на рис. 20, она получена при r = 3.0 и x_о = 0.1. Если r_n — значение параметра роста, соответствующее п-й бифуркации (т. е. моменту, когда колебания периода 2ⁿ теряют устойчивость и устойчивыми становятся колебания периода 2ⁿ⁺¹ ), то оказывается, что отношение длин следующих друг за другом интервалов

d _n = (r_n - r_n-1 )/( r_{n +1} - r_n)

сходится (это было обнаружено 3. Гроссманном и С. Томэ, а также Фейгенбаумом) к значению

4. 4. d _n ^> d = 4.669... , когда п ^> ?.

Конечно, в случае процесса Ферхюльста хотелось бы иметь представление о всех возможных типах поведения. Здесь окажется полезной бифуркационная диаграмма на рис. 21, отражающая зависимость динамики от параметра г. Для каждого значения г первые 5000 итераций были оставлены “в тени”, чтобы процесс успел выйти а свой аттрактор (который характеризует асимптотическое поведение, не включающее особенности переходного периода), а следующие 120 итераций были нанесены на диаграмму для того, чтобы показать природу этого аттрактора. Он состоит из одной точки при r < 2, из двух точек при 2 < r < O 6, затем из 4, 8, 16, ... точек вплоть до области хаоса, где точки аттрактора могут заполнять целые полосы.

Структура каскада бифуркаций, который Э. Н. Лоренц наблюдал за точкой хаоса r = 2.570, соответствует структуре каскада бифуркаций, предшествующего этой точке. На этот факт первыми обратили внимание Зигфрид Гроссманн и Стефан Томэ из Марбургского университета в Западной Германии: около точки r =- 3.0 имеется только одна хаотическая полоса, которая распадается при r = 2.679 на две полосы, при r = 2.593 на четыре, затем на 8, 16, 32 и т. д. до тех пор, пока к значению r = 2.570 такое удвоение не произойдет бесконечное число раз.

Рисунок 21 содержит и целый ряд других бифуркационных “деревьев”, которые также характеризуются числом 6. Внутри хаотической области видны “окна”, в которых аттрактор снова состоит из отдельных точек. Например, при г = 2.8284 возникают устойчивые колебания периода 3, которые затем удваивают период до 6, 12, 24,..., растворяясь в хаосе при r = 2.8495.

Более подробную информацию по этому вопросу можно найти в рекомендуемых нами книгах Р. Л. Девани [Del] и X. Г. Шустера [Sch].

ЧАСТЬ III

СТАТЬИ ПРИГЛАШЕННЫХ АВТОРОВ

Фракталы и возрождение теории итераций

БЕНУА Б. МАНДЕЛЬБРОТ

Всего лишь шесть лет назад! Только десять, и уже двадцать с лишним лет прошло!

Даже не верится, что лишь шесть лет назад я впервые обнаружил и описал структуру прекрасного множества, которому посвящена эта книга. И мне очень приятно, что теперь его связывают с моим именем — это большая честь!

Немногим более 20 лет прошло с тех пор, как я убедился, что между моими разрозненными набегами в пустынные и безлюдные уголки Неизведанного все же существует какая-то связь. А ведь ничего общего между ними никто не видел, кроме разве что того, что ими занимался я. И вот, около 1964 года появились признаки того, что все это когда-нибудь сложится в единую картину. К ее систематическому изучению я и присгупил. Прошло не более 10 лет с тех пор, как моя картина сложилась настолько ясно, что я смог начать работу над книгой. Для этого новой области нужно было присвоить имя. Так и появился термин “фрактальная геометриям.

Красота многих фракталов тем более поразительна, что открылась совершенно неожиданно: мы хотели построить — с чисто учебной целью — всего лишь математические диаграммы, и можно было ожидать, что они окажутся сухими и скучными. Поэт как-то написал, что Евклид обнаружил красоту, но ведь, чтобы научиться по-настоящему понимать и ценить красоту геометрии Евклида, необходимо долго и упорно тренироваться и, возможно, обладать особым даром. Напротив, трудно найти человека, равнодушного к фракталам. А многие считают, что первое знакомство с фрактальной геометрией подарило им совершенно неповторимые эстетические впечатления и обогатило новым научным опытом. В этом смысле фракталы, безусловно, оригинальны настолько, насколько это вообще возможно.

С чисто математической точки зрения ситуация представляечся более сложной и весьма интересной. Многие естественно-научные гсории начинают свое существование с того, что берут все, что можно, из уже готовых областей математики. В нашем случае таких сложившихся областей не существовало. Наоборот, именно фрактальная геометрия, созданная для нужд естествознания, совершенно неожиданно объединила несколько старых и благородных (хотя и узких) математических направлений в единый поток и пробудила от спячки еще несколько.

Исторические обзоры обычно принято начинать с отдаленного прошлого, переходя затем ближе к настоящему. Но сейчас мне бы xoi елось нарушить этот порядок. Позвольте сначала, пока мне не изменяет память, рассказать о появлении удивительного множества, исследуемого в этой книге. Некоторые из компьютерных рисунков, воспроизведенных в этом очерке, — это самые первые изображения фрактальных фигур. Сегодня они кажутся антиквариатом. И даже вчера казались устаревшими и ужасно примитивными. А в 1980 году, когда я увлекся их ителлектуальными и эстетическими откровениями, это было лучшее из того, что можно было сделать в Гарвардском университете, где я в 1979—1980 годах работал в качестве приглашенного профессора математики. В научном центре был установлен компьютер Vax (новенький и “необъезженный”), каргинки мы наблюдали с помощью электронно-лучевой трубки Tektronix, изношенной и очень слабой, а копии печатались на принтере Versatec, причем никто толком не знал, как с ним обращаться. Я тогда постоянно работал в Исследовательском центре IBM им. Томаса Дж. Уотсона в Йорктаун-Хейтс, штат Нью-Йорк, где имел академическую свободу, будучи членом совета IBM Мне кажется, что эти рисунки должны раз и навсегда рассеять впечатление о моем якобы замечательном существовании в IBM, где для научного процветания достаточно было лишь попасть в комнаты, битком набитые самым современ ным оборудованием

И еще немного в том же духе Отличные графики, сделанные в IBM для моей более ранней работы 1977 года, были получены на уже побывавшем на свалке и постоянно ломавшемся компьютере, программное обеспечение которого так никогда и не было приведено в порядок.

В 1980 году у меня был замечательный программист — ассистент Питер Молдейв, бесплатно помогавший мне по вечерам после своей основной работы

Здесь уместно вернуться немного назад, в 1978—1979 годы. Тогда в IBM со мной работал прекрасный помощник Марк Р Лафф. Я уже заинтересовался фракталами, инвариантными относительно нелинейных преобразований, хотя начинал с “самоподобных” фракталов, инвариантных относительно линейных преобразований Откуда же взялось это новое увлечение? Дело в том, что на меня произвел сильное впечатление написанный Ж Адамаром некролог Анри Пуанкаре. Он, собственно, и привлек мое внимание к нескольким заброшенным областям математики, в которых можно было ожидать появления любопытных фракталов совершенно неизвестной структуры

Вначале мы исследовали объект, рассмотренный впервые самим Пуанкаре в 1880 х годах, а именно “предельное множество группы Клейна”. Нас занимала, если говорить точнее, следующая родственная задача- на плос кости дано несколько окружностей. Необходимо описать структуру множества, инвариантного (не изменяющегося) при обычных инверсиях относи тельно любой из этих окружностей Другими словами, произвольно взятая начальная точка подвергается бесконечной цепочке инверсий относительно заданных окружностей, и задача состоит в том, чтобы описать фигуру, к которой бесконечная цепочка инверсий “притягивает” эту начальную точку

К моей радости и удивлению моих способностей в прикладной математике хватило, чтобы отыскать явную конструкцию. И хотя сейчас конструкция кажется почти очевидной, она неизменно, начиная с 1880-х годов, ускользала от чистых математиков.

Затем мы довольно беззаботно стали забавляться, строя один за другим примеры фигур, известных как “множества Жюлиа”. Они возникли в рамках так называемой “теории итераций рациональных отображений комплексной плоскости”. Тогда, в 1979 году, эта теория пребывала в спячке, пройдя пик своего расцвета где-то в 1918 году, когда появились знаменитые работы Ж. Жюлиа и П. Фату. Что же заставило нас вернуться к этим работам? В 20 лет я прочел или просмотрел их по совету моего дяди — известного “чистого” математика, специалиста по комплексному анализу, и это здорово повлияло на мою дальнейшую жизнь. Еще тогда, в 1945 г., мне удалось благодаря этим работам отойти от шаблона, которому обычно следуют при изучении математики. А благодаря тому, что Жюлиа был одним из моих учителей в Политехнической школе, мой образ мыслей не изменился. Через 35 лет мне довелось сыграть ведущую роль в возрождении теории итераций, и это, хотя и очень поздно, приблизило меня к основному руслу современной математики, причем настолько, что я и сам этого не ожидал.

Мы накопили прекрасные изображения множеств Жюлиа в больших количествах (рисунок одного из таких множеств был независимо от нас построен и показан нам Дж. X. Хаббардом. И очень приято было спустя столько лет ощущать, в чем в действительности состоял смысл открытий Жюлиа и Фату. Кроме того, практически все множества Жюлиа оказались чрезвычайно красивыми.

Однако время игр и забав вскоре прошло, и я поставил перед собой серьезную задачу: выбрав семейство рациональных отображений с одним комплексным параметром, я решил исследовать, в каких областях лежат значения параметра, для которых динамика отображения сходится к устойчивым предельным циклам различных размеров. Назовем это множество М'. Мне почему-то казалось, что нужно исследовать достаточно сложное отображение, чтобы получить множество М' с богатой структурой (я заметил потом, что каждый из новичков, за которым я наблюдал, пытался действовать точно так же). Я решил рассмотреть отображение z ® c(1+z^{2) 2} / z(z² –1) и убедиться в том, что существуют значения параметра, приводящие к гарантированному хаосу. При с = 1/4 такое изображение было изучено Сэмю-элом Латтесом, и его динамика, как известно, хаотична. Я же хотел исследовать его для произвольных комплексных значений с. Для этого отображения не было критерия существования устойчивого предельного цикла, и мы запустили на компьютере исследовательский алгоритм, получив в результате очень размытую, но с весьма сложной структурой “тень” множества М'. На рис. 63 приведено полученное позднее изображение этого множества. И хоть тогда, в 1979 году, мы увидели только размытые пятнышки, этого оказалось достаточно, чтобы понять, что игра стоит свеч и что поставленной цели гораздо легче достичь в более простом случае.

Поэтому я и вернулся вновь к квадратичному отображению z ® z² - с. Оно всегда имеет устойчивую неподвижную точку на бесконечное ги, и поэтому наиболее интересной задачей была классификация неподвижных циклов, являющихся ограниченными. Кроме того, квадратичное отображение — самое простое и к тому же единственное, для которого все зависит от значений единственного параметра.

В начале 70-х годов стали широко известны исследования П. Дж. Мирберга для действительных с. Они продолжали развиваться в различных направлениях. Но никто — и это поразительно — не стал заниматься их расширением на комплексную плоскость. Я чувствовал, что известные свойства действительных квадратичных отображений обеспечаг постоянную проверку результатов в случае комплексных с. Мне также казалось, что для максимально быстрого продвижения к цели я могу, ничего не опасаясь, избрать более короткий путь исследований, строгое математическое обоснование которого было выше моих аналитических способностей, и фактически даже сейчас оно является неполным.

В 1906 г. Фату удалось показать, что для некоторых с бесконечно удаленная точка притягивает всю комплексную плоскость, кроме множества Жюлиа, которое является очень “тонким” и образует то, что теперь называю! “фрактальной пылью”. Пыль не может быть границей какого бы то ни было множества независимо от его типа, и, следовательно, искомое множество М' должно быть подмножеством множества таких с, для которых множество Жюлиа не является пылью, т. е. связно.

Именно последнему множеству (обозначим его М) присвоили мое имя. Я выбрал это множество потому, что Жюлиа дал прямой критерий, который особенно легко запрограммировать для квадратичного отображения:

с принадлежит М тогда и только тогда, когда точка Zo = 0 (так называемая “критическая точка”) не стремится к бесконечности. Для первой проверки использовалось квадратичное отображение в альтернативной форме z ® z(1 - z). После нескольких итераций на решетке с большим шагом мы обнаружили, что множество М включает в себя очень грубые очертания двух кругов |l |<1 и |l -2|<1.

Два алгебраических подхода подтверждали, что эти круги должны находиться именно здесь, а значит, наш метод работал. Кроме того, на действительной оси, слева и справа от вышеупомянутых кругов, мы увидели нечеткие очертания круглых вкраплений, которые я сейчас и называю “атомами”. Оказалось, что они разделены интервалами, известными из теории Мирберга, и это вдохновило нас на еще более смелые вычисления. Кстати, любое улучшение качества расчетов приводило ко все более четко сфокусированным картинкам. А чтобы увидеть, как атомы образуют иерархию, в которой к каждому из них прикреплены меньшие, мне потребовалось еще и воображение. Мы убедились, что точки, в которых большие кругообразные атомы несут на себе меньшие, такие как и ожидалось. И таким образом нам открылись геометрические реализации не только знакомой последовательности парных бифуркаций Мирберга, но и любой другой последо вательности бифуркаций произвольного порядка.

Затем, однако, счастье, по-видимому, нам изменило картинки, вместо того чтобы становиться все точнее и резче, становились, казалось, все бес порядочнее Ошибки ненадежного дисплея Tektronix Чтобы убедиться в этом, я ненадолго съездил в Йорктаун Мы пропустили нашу Гарвардскую программу через компьютерную сеть IBM, получили рисунок, который был затем опубликован в верхней части иллюстрации 189 моей книги 1982 г. Беспорядок не исчез! Наоборот, и вы сами можете в этом убедиться, в нем появились признаки систематичности Мы сразу же попробовали посмотреть на все это вблизи И когда изображение было увеличено, многие пятнышки исчезли, как и ожидалось, но некоторые не только не исчезли, но и обнаружили сложную структуру. Оказалось, что они обладают “побегами”, очень напоминающими характерные для всего множеова М Мы с Питером Молдейвом не могли сдержать своего волнения Чю то заста вило нас переделать все вычисления для эквивалентного отображения z ® z² — с, и здесь оказалось, что основной континент множества М имеет ту же форму, что и каждый из островов! Затем мы сосредоточились на “побегах”, отвечающих бифуркациям различных порядков, и сравнили соответствующие близлежащие острова Как оказалось, они лежат на пересе чениях звездных областей и логарифмических спиралей! Рис 64 представля ет собой пример, соответствующий 100-кратной бифуркации, построенный с помощью компьютерной сети IBM летом 1980 года (копии псча1ались на Tektronix)

Наряду с этими увеличенными изображениями множества М, мы продолжали строить изображения множеств Жюлиа для значений параметра с, лежащих внутри молекул-островов Картина, которую мы наблюдали, казалось, распадалась на множество мелких островков, каждый из которых представлял собой уменьшенный вариант множества Жюлиа для соответ ствующего значения с в молекуле-континенте множества М (рис 65) Одна ко из критерия Жюлиа следует, что это подобие обманчиво В то время как внутренние части островов перекрываться не могут, просвет между ни ми должен быть частично заполнен меньшим островом и i д до бесконечности В конце концов острова должны соединиться своими береговыми линиями, образуя “дьявольский” полимер с невидимыми (из за того, ччо точность вычислений, естественно, ограничена решеткой) “связями”

Мы продолжали делить время между множеством М и некоторыми из множеств Жюлиа J, пока не сделали захватывающее открытие Я заметил, что множеству М всегда принадлежит рекорд по числу точек в предельных циклах. Оно также имеет таинственный “иероглифический” характер вклю чает в себя полный набор деформированных и уменьшенных версий всех множеств Жюлиа

Для понимания структуры множества М особое значение имело одно из характерных утверждений теории Мирберга, уже установленное к 1980 г , а именно то, что действительная ось пересекает цепь островов, принадлежащих М, и соединяет их по береговым линиям уже описанным для некоторых множеств Жюлиа “дьявольским” способом Это наводит на мысль, что звездоподобные структуры, обнаруженные вне действительной оси, также возникают из-за того, что множество М представляет собой связный “дьявольский” полимер.

Столкнувшись с этим, я стал действовать слишком осторожно, что бы ло совершенно не в моем характере и, к счастью, это быстро прошло Воз можно, что это проявилось во мне после года, проведенного среди “чис тых” математиков. Поясню подробнее

На протяжении моей карьеры, изобиловавшей подъемами и падениями, я всегда приветствовал разнообразные и часто противоречивые влияния, откладывавшие слой за слоем “осадки”, которые часто влияли на меня весьма своеобразно. Обычно я невосприимчив к обвинениям, выдвигаемым математиками в том, что я использую недостаточно строгие аргументы, но в этом случае я позволил математической стороне моей научной натуры взять верх. Хотя мне и не удалось в 1980 г. доказать, что мое множество М является связным, мне все же следовало бы сделать такое утверждение, основываясь на экспериментальных наблюдениях. Но мне не хватало сме лости. В это время я писал статью, которая появилась в конце 1980 i. и стала весьма хорошо известной. Одна часгь этой pa6oibi вошла в мои доклад, который я сделал в Нью-Йорке в декабре 1979 года, а друая (как это обычно и бывает) представляла собой новые разрабо1ки. Однако вместо того, чтобы обсудить множество М в той форме, в какой оно изуча лось, я ввел в этой работе некий неудобный суррогат, свойства коюрого мог описать математически более точно.

Связность множества М была, таким образом, представлена как вопрос, на который нужно найти ответ, но не как утверждение, требующее доказательства. И вплоть до своей книги 1982 г. я так и не вернулся к правильным убеждениям. А вскоре и вопрос о публикации стал проблематичным, так как А. Дуади и Дж. X. Хаббард доказали связность множества М и продол жали его чрезвычайно подробно исследовать.

Меня просили изложить в этом очерке все так, как мне запомнилось, но думаю, что вряд ли кто-нибудь ожидал, что я буду писать о себе столь откровенно. Позвольте мне продолжить в том же ключе рассказ о том, как было введено понятие фрактала, так как его появление было связано со многими случаями нелегкого, и в то же время волнующего взаимодействия различных сторон личности ученого. В 1975 г. я придумал термин фрактал, чтобы дать название моей первой работе в этой области. Однако я не стал приводить математическое определение, чувствуя, что это понятие, как и хорошее вино, требует выдержки, прежде чем оно будет “разлито по бутылкам”. Все фигуры, которые я исследовал и называл фракталами, в моем представлении обладали свойством быть “нерегулярными, но самоподобньши”. Слово “подобный” не всегда имеет классический смысл “линейно увеличенный или уменьшенный”, но всегда находится в согласии с удобным и широким толкованием слова “похожий”. Широкое толкование было необходимым, чтобы включить, например, множества Пуанкаре и Жюлиа, о которых шла речь выше. Формулировка “нерегулярный, но само подобный” была попыткой втиснуться между двумя возможностями, к которым эти теории сводились ранее. Первую из них иллюстрирует теория Евклида, исследующая исключительно упорядоченные и гладкие фигуры (элементы кривых у Евклида всегда самоподобны, но тривиальным образом: все кривые являются локально прямыми, а прямая всегда самоподобна). Другая старая возможность была связана с фигурами произвольной сложности и неупорядоченности. Сегодня эти фигуры заслуживают наименования “геометрически хаотичных”, но тогда, называя их, я использовал менее удачный латинский эквивалент “erratic” (беспорядочные). Моя атака в новой области имела целью разделить на части понятие хаоса. Одна часть при этом так и осталась нетронутой, поскольку мы не знаем, как ее исследовать. Вторая же, хотя и менее общего вида, но весьма внушительная, заслуживает быть выделенной. Ее следовало бы изучить, хотя бы в силу многочисленных примеров самоподобия в природе, а еще потому, что именно из-за самоподобия она вполне поддавалась изучению.

Но когда в 1975 г. я писал свою работу, различие между “упорядоченным” и “неупорядоченным” хаосом еще не было центральным местом. На той стадии было необходимо добиться признания хаоса, акцентируя внимание на различиях между гладкими и негладкими фигурами. Я был вынужден подчеркивать эти различия очень тщательно, определяя фракталы формальным образом. Очень давно мне довелось случайно познакомиться с представлением о хаусдорфовой размерности, и я развил в себе интуитивное понимание этого понятия. Для подавляющего большинства действующих математиков оно было каким угодно, но уж никак не интуитивным, а фактически весьма туманным, хотя одновременно и классическим — для нескольких работавших с ним ученых. И если бы мне не удалось развить эти знания и интуицию, кто знает, может быть и не было бы фрактальной геометрии.

Позже я понял, что фактически моя интуиция всегда работала с различными формами более общей концепции того, что я называю “фрактальной размерностью”. Сила понятия фрактальной размерности по Хаусдорфу в том, что она позволяет различать категории “гладкий” и “хаотичный”. Слабость же ее в том, что не удается различить категории “нерегулярный, но самоподобный” и “геометрически хаотичный”. Это происходит из-за того, что определение является весьма общим, что и требуется для математики. Но для конкретной области науки общий характер этого определения оказывается чрезмерным: оно становится не только неудобным, но и совершенно неподходящим.

Впрочем эта особенность вовсе не была очевидной в 1975 г., когда я шокировал ученый мир, использовав дробную размерность для моих самоподобных моделей. Я ринулся под защиту существующего определения и в 1977 г. провозгласил существование множеств с дробной хаусдорфовой размерностью, или, другими словами, с размерностью, больше топологической. Это определение не смогло охватить многие “пограничные фракталы”, но тем не менее с его помощью удалось более или менее точно провести границу “против” Евклида. Но граница “против” настоящего геометрического хаоса оставалась широко открытой! Я знаю, что определения значат немного, но это еще поддавалось улучшению.

И вот наконец наш экскурс в историю привел нас к отдаленным корням событий, происходивших двадцать с лишним лет назад. Согласно наиболее строгим стандартам, принятым для философов и историков, лишь немногие мысли являются совершенно новыми. Если разработка не является важной, то ее претензии на новизну не заслуживают специального изучения. В то же время важные результаты — а фрактальная геометрия, похоже, такова — всегда нуждаются в серьезной проверке. Еще до того, как она утвердила себя, я подверг ее интеллектуальные основания проверке по самым жестким меркам и полностью изложил результаты в своих книгах. Что касается вклада фрактальной геометрии в науку и эстетику, то вывод таков: даже намека на нее до моих работ не существовало. Причем почти полное отсутствие непризнанных предшественников очень удивляе). Историческое исследование позволило обнаружить лишь несколько неизвестных ссылок (Ж. Перрен, Г. Штейнгауз и некоторые другие), в которых отмечалось, что хаос требует изучения, но эти мысли развития не получили.

С другой стороны, в моей книге цитируются мноше жаменитые математики, работавшие в период 1875—1925 годов, включая Пуанкаре, Кантора, Пеано, Хаусдорфа, Серпинского. Не считаю ли я поэтому, чю фрактальная геометрия была “открыта” его лет назад? Вовсе нет. Я цитирую этих авторов потому, что у меня имеются и серьезные похвалы, и не менее серьезные упреки к ним. Я отдаю им должное за ю, что они изобрели ряд конструкций, которые мне в конце концов удалось объединить и коюрые оказались бесценными. А упреки связаны с тем, что им не удалось увидеть и развить родство своих построений, что они видели в каждой из своих конструкций “монстра”, “исключительное множество”, из-за чего их действительное значение было полностью упущено. Исторический контекст помогает объяснить, почему моя фрактальная геометрия оказалась для всех совершенно неожиданной, и особенно для тех, кто занимался математической дисциплиной, именуемой “действительным анализом” и родившейся из тех же конструкций около 1900 года. Я льщу себя надеждой, что эти удивительные идеи вскоре будут казаться “естественными” и “неизбежными”.

Закончу на этом. Мои воспоминания об истории фракталов недавно были опубликованы в более полном виде. Да и подробности, о которых я рассказал, не имеют прямого отношения к этой великолепной книге, для которой, еще не успев насладиться ею, я написал свое эссе.

Свобода, наука и эстетика

ГЕРТ АЙЛЕНБЕРГЕР

Пожалуй, это самый оригинальный из поводов, по которым меня просили высказать свое суждение. Весьма необычным для ученых, занимающихся естественными науками, представляется то упорство, с каким они пытаются донести свои результаты и понимание до широкой публики А форма, которую они избрали, еще необычнее! Абстрактному сухому и многословному изложению сути проблемы они предпочли рисунки; это соединение математики и искусства обладает непосредственным воздействием на зрителя и вызывает всеобщее восхищение. Хотя я и не могу внести свой непосредственный вклад в эту специфическую область, я нахожу содержание этой книги вдохновляющим. Мне бы хотелось высказать несколько своих философских размышлений о том, каково может быть значение этих работ для понимания Вселенной с физической точки зрения

Занятия естественными науками можно сравнить со строительством монументального здания, скажем Кельнского собора. Мы, ученые, строим такое здание собора — Научную картину Вселенной. И хотя результаты наших усилий, как и Кельнский собор, находят практическое применение — цель нашей работы, как она была бы выражена в средние века, — прославление Господа! И только с помыслами, подобными этому, люди мoгут построить собор, а не фабрику. И точно так же, как неизвестны сегодня имена строителей средневекового собора (ибо значение имеет лишь дело их рук, но не они сами), так и вклад большинства ученых остается анонимным Собор — это общее дело, а ученые — подмастерья мощной бригады строителей или, рассматривая их деятельность во всемирном масштабе, они — братья всемирного ордена, в котором личные амбиции уходят на второй план перед великим общим делом

Впрочем, есть и существенная разница между научной деятельностью и строительством настоящего собора: собор строится по чертежам, а развитие науки нельзя спланировать заранее! Всегда можно ожидать сюрпризов! Так, например, чрезвычайно неожиданными для физика (хотя, возможно, не для математика) оказались приведенные здесь рисунки. Их нельзя рас сматривать только как результат тривиальных компьютерных игр, прият ных, но не имеющих более глубокого смысла. Напротив, математические и физические идеи, с помощью которых возникают такие изображения, — это, по моему разумению, самое волнующее научное открытие со времени появления 60 лет назад квантовой механики.

Эти идеи должны вновь революционизировать научную картину мира. Наш собор будет полностью преображен — утратив готическую холодность, он приобретет причудливые барочные очертания!

Старая картина мира, кредо ученого, была сформулирована французским математиком и астрономом Лапласом около 200 лет назад. Её можно изложить так:

В таком детерминистском мире не существовало бы ни свободы, ни случайности. Действия банковского грабителя и произведения художника были бы предопределены заранее.

Ученые фактически никогда не принимали эту, несколько отдающую кальвинизмом, предопределенность повседневной жизни. Но в своей научной работе им очень трудно было избавиться от этого детерминизма, поскольку именно он порождал утверждение, что любое наблюдаемое явление имеет (хотя бы в принципе) научное объяснение, а от этой аксиомы ни один ученый легко не откажется! Даже великие революционные открытия первых десятилетий нашего века в физике, связанные с именами Планка, Эйнштейна и Гейзенберга, лишь перенесли этот конфликт на более высокий математический уровень, не решив его окончательно.

Исследователи, впрочем, всегда были весьма либеральны, интерпретируя кредо Лапласа. Даже наиболее тщательно поставленный эксперимент никогда в конце концов не бывает полностью изолирован от влияния окружающей среды, а состояние системы ни в один момент времени не может быть известным точно. Абсолютная (математическая) точность, о которой говорил Лаплас, физически недостижима — небольшие неточности будут всегда, и это принципиальный момент.

Но вот во что ученые действительно верили, так это в то, что почти одинаковые причины будут давать почти одинаковые следствия, причем как в природе, так и в хорошо поставленном эксперименте. Это чаще всего именно как и происходит, особенно для коротких временных отрезков, в противном случае было бы невозможно установить какой-либо закон природы или же построить реально работающую машину.

Но это весьма, казалось бы, правдоподобное предположение оказывается справедливым не всегда; более того, оно неверно для больших промежутков времени даже в случае нормального (типичного) течения природных процессов! В этом, если сказать кратко, смысл захватывающего прорыва, осуществленного при исследовании так называемых динамических систем.

Произведения искусства, содержащиеся в этой книге, можно интерпретировать как красочные изображения систем такого типа, на которых показаны движения, т. е. изменения со временем, некоторых математических величин, которым могут соответствовать определенные физические (экспериментально измеримые) величины. Эти изменения происходят в соответствии с простыми и ясными правилами, похожими на законы природы. Тонкая структура этих узоров выражает тот факт, что мельчайшие отклонения в начале движения могут привести через определенное время к гигантским различиям. Другими словами, самые незначительные причины вызывают через некоторое время огромные последствия. Конечно же, такое иногда встречается и в нашей повседневной жизни, а исследования динамических систем показали, что для природных процессов это типичное явление.

Но какое это имеет отношение к свободе, т. е. к возможности в принципе принимать не предопределенные заранее решения? Ведь на такой возможности зиждется наше представление о себе, как о разумно действующих существах, а не автоматах. Начнем с того факта, что мыслительным процессам, протекающим в нашем мозгу, и, в частности, сознанию соответствуют электрофизиологические процессы в нервных клетках и что сознание — это фактически внутреннее отражение некоторых из этих процессов. Если в соответствии с описанным выше грубым физическим детерминизмом наши действия могут быть предугаданы, исходя из приближенно известного начального состояния нервных клеток, то и невозможность не предопределенной заранее воли может, хотя бы в принципе, быть установлена эмпирически. Но сейчас уже стало известно, что пустяковая, неизмеримо малая разница в начальных состояниях может привести к совершенно разным конечным состояниям (т. е. решениям), и физика уже не позволяет эмпирически установить невозможность свободной воли.

Однако мы все же не смогли избавиться от антиномии Канта о невозможности свободы. Нам удалось опровергнуть грубый детерминизм реальной физики, но отнюдь не детерминизм Лапласа. Последний исчезает, если проследить причинную цепочку назад — к причинам, различие между которыми становится все менее заметным. Исчезновение детерминизма происходит, когда возникают онтологические вопросы теории познания о пределах применимости математики как средства адекватного отражения реальности. Я верю, что такие пределы существуют. Но прежде чем приступить к обоснованию своей позиции, мне бы хотелось сделать небольшое отступление.

Огромные успехи точных математических наук привели к появлению среди ученых, особенно среди физиков, веры в то, что все реально наблюдаемое в их опытах подчиняется законам математики вплоть до мельчайших деталей. Установление математических законов, которым подчиняется физическая реальность, было одним из самых поразительных чудесных открытий, сделанных человечеством. Ведь математика не основана на эксперименте, а порождена человеческим разумом, как и Афина, рожденная из головы Зевса.

Математическое познание выводимо, т. е. его основные элеменнты связаны между собой, но это познание априори. Когда же физик использует свои знания для предсказаний и на основе нескольких экспериментов, проведенных в конкретное время и в конкретном месте, и подходящей теории пытается объяснить явления природы, происходящие в совершенно другом месте и в совершенно другое время, и такие предсказания сбываются, то это граничит с чудом. Физик при этом лишь с удовлетворением заключает, что, по-видимому, теория верна. Но почему, собственно говоря, реально существующий мир должен подчиняться теории, математической структуре?

Кант дал на этот вопрос остроумный ответ: само наше восприятие выстраивает действительность следующим образом, т. е. только то, что отражается нашим разумом и воспринимается как реальность, подчиняется математическим законам. О внешнем мире мы не знаем ничего (или “Вещь в себе”).

Как ни разумна эта идея, мне она кажется неверной. Я разделяю идеи эволюционной теории познания, которая восходит к физику Людвигу Больцману и была развита в дальнейшем, в особенности после работ Конрада Лоренца.

Основная мысль такова: в смирительную рубашку математики одевает природу вовсе не наша чувственная или познавательная деятельность, а сама Природа в ходе своего эволюционного развития вкладывает математику в наш разум как реально существующую структуру, неотъемлемую от нее самой. Менее абстрактно: в мозгу обезьяны, от которой мы произошли, должно было реально существовать очень точное понимание геометрии пространства, если она не хотела упасть с дерева и сломать себе шею. Точно гак же можно утверждать, что развитие наших способностей к абстрагированию и манипулированию логическими символами должно быть ориентировано на реально существующие структуры реального мира.

Способности к математике — это часть зафиксированного генетически видового опыта, априорного для индивидуума и апостериорного для вида в целом.

Однако широкий спектр способов математического описания природы выглядит чудом. Наука все еще не достигла ясно различимых пределов применения математических методов, хотя я и не могу отделаться от подозрения, что некоторые парадоксы, возникающие при интерпретации квантовой механики, могут указывать на такие пределы. Эта широта тем более поразительна, что наши математические способности (если эволюционная теория познания справедлива) приобретались нашими предками путем опытов с довольно грубыми структурами и объектами повседневного мира.

Совершенно очевидно, что наши геометрические и логические возможности простираются далеко за пределы окружающего мира. А это означает, что реальный мир подчиняется математическим законам в значительно большей степени, чем нам известно сейчас.

Но даже если эти структурные (математические) принципы экстраполируются все более глубокими конструкциями и теоремами, то и в этом случае просто невероятно, чтобы действительность с исчерпывающей полнотой отражалась математическими конструкциями — от огромных космологических размеров и до самой последней микроскопической детали.

Физику-теоретику нелегко с этим согласиться, но в эволюционной теории познания фактически неизбежно возникает предположение о том, что математические способности вида “гомо сапиенс” принципиально ограниченны, так как имеют биологическую основу и, следовательно, не могут полностью содержать все структуры, существующие в действительности. Иными словами, должны существовать пределы для математического описания природы.

Таким образом, детерминизм Лапласа не может быть абсолютным, и вопрос о случайности и свободе вновь открыт!

Но картины, представленные на этой “выставке”, можно рассматривать и с другой точки зрения — они просто прекрасны! Хаотический компонент, заметный в очень мелких структурах, не захватывает всю картину. Существуют большие регулярно упорядоченные области, причем порядок и хаос гармонически сбалансированы друг с другом.

Эта смесь порядка и беспорядка в самом деле поразительна и, что самое важное, типична для природных процессов. Теория динамических систем дает здесь ответ на другой, эмоциональный вопрос: почему все, что производит промышленность, вообще весь технический мир кажется столь неестественным, хотя и является продуктом естественных наук?

Почему все же силуэт изогнутого бурями дерева без листьев на фоне вечернего неба воспринимается как нечто прекрасное, а любой силуэт высоко функционального университетского здания таким не кажется, несмотря на все усилия архитектора?

Ответ, как мне кажется (пусть даже это немного и надуманно), должен быть дан с помощью новых подходов к динамическим системам. Наше ощущение прекрасного возникает под влиянием гармонии порядка и беспорядка в объектах природы — тучах, деревьях, горных грядах или кристалликах снега. Их очертания — это динамические процессы, застывшие в физических формах, и определенное чередование порядка и беспорядка характерно для них.

В то же время наши промышленные изделия выглядят какими-то окостеневшими из-за полного упорядочения их форм и функций, причем сами изделия тем совершеннее, чем сильнее это упорядочение. Такая полная регулярность не противоречит законам природы, но сейчас мы знаем, что она нетипична даже для весьма “простых” естественных процессов. Здесь мы имеем дело с искусственно созданной пограничной линией природы, с патологическим случаем, если хотите.

Можно спросить: если это наблюдение и в самом деле является столь неожиданным, то не мог ли некий непредвзятый наблюдатель увидеть то же самое где-нибудь в другом месте? Вопрос правильный, но мы, ученые, не были (если я имею право так говорить о своих коллегах) непредвзятыми наблюдателями! Мы строили наши концепции (и предубеждения) типичного поведения природных систем, наблюдая за искусственными системами, которые и выбраны-то были именно из-за своей регулярности. Полная упорядоченность была предварительным необходимым условием для математического описания процесса. И только появление мощных компьютеров сняло эти ограничения. Ожидалось, что компьютеры наведут полный порядок и дисциплину во всех областях жизни, но именно они дали возможность лучше понять гармонию и хаос.

И еще одна причина волнения, связанного с этими картинами: они показывают, что можно без труда установить внутреннюю связь, перебросить мост между рациональным научным познанием и эмоциональной эстетической привлекательностью. И эти два способа познания человеком мира начинают сближаться в своей оценке того, что представляет собой природа. Более того, наука и эстетика согласны в том, что именно теряется в технических объектах по сравнению с природными: роскошь некоторой нерегулярносги, беспорядка и непредсказуемости. Понимание этого может здорово помочь нам в том, чтобы придать человеческое лицо технологии, от которой все больше зависит наше выживание.

Пайтаген Х.-О., Рихтер П.Х. Красоты фракталов. - М., 1993, - С.17-37, 39-42, 131-140, 155-160.