Главная страница  Автор

Севрюк В.П. Отображение Коула-Хопфа в квантовой статистической физике//Тр. Дальневосточного государственного технического университета. Вып. 128. –Владивосток: ДВГТУ, 2001, с.115 – 117. Библ. 7 назв.

___________________________________________________________________________

Владимир Петрович Севрюк

winword zip

АННОТАЦИЯ

В теории нелинейных дифференциальных уравнений используют отображение Коула – Хопфа. Такое отображение имеется и в квантовой статической физике.

ABSTRACT

In the theory of non-liner differential equations reflection of Koyl – Hopf is used. Such reflection is used in kwantion stastistical physics too.

Отображение Коула (Cole) [1] и Хопфа (Hopf) [2] (см., напр. [3])

(1)

отображает решения уравнения теплопроводности в решения уравнения Бюргерса (Burgers) [3] поскольку

(2)

Отображение (1) представляется в виде двух отображений, подобные которым отображения вводятся в квантовой статистической физике [5], а именно:

для фермионов

; (3)

для бозонов

, (4)

где

(5)

термодинамический потенциал ансамбля, состоящего из фермионов,

(6)

термодинамический потенциал ансамбля, состоящего из бозонов,

и - нормировочные коэффициенты [5], для которых

, , (7)

Т- термодинамическая температура, - химический потенциал, -энергия к уровня, - среднее число частиц на к энергетическом уровне.

Нормировочные коэффициенты А удовлетворяют дифференциальным уравнениям (типа дифференциальных уравнений теплопроводности и диффузии):

и . (8)

Имеем и такие соотношения [5]:

, .

С помощью введенных отображений Коула – Хопфа имеем следующие этапы преобразований дифференциальных уравнений:

для термодинамических потенциалов

, (9)

(10)

для и

, (11)

, (12)

которые по форме сходны с нелинейными уравнениями Бюргеса.

Простейшими решениями этих уравнений являются известные функции (функции распределения среднего числа фермионов и бозонов по энергетическим уровням) и ряд других функций [6]:

, .

Из определения меры флуктуаций (дисперсия) [5]

(13)

посредством уравнений (11) и (12) получаем нелинейные дифференциальные уравнения типа уравнений Кортевега-де Вриза для флуктуаций, которые приведены в работе [7].

ЛИТЕРАТУРА

1. Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics/ Quart.Appl. Math., 1950, 9, pp. 225-236.

2. Hopf E. The partial differential equation U_t+UU_x=m U_xx/ Comm. Pure Appl., 1950, pp. 201-230.

3. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. Перевод с англ. -М.: Мир, 1987, с. 180.

4. Burgers I.M. F mathematical model illustrating the theory of turbulence/ Adv. Appl. Mech., 1948, 1, pp. 171-199.

5. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Изд. 2-е, перераб. - М.: Наука, 1969, 568, с.

6. Севрюк В.П. Геометрия расслоенных пространств в теории обобщенных криволинейных координат. ВИНИТИ, №3378-В90Деп., 1980, 145 с.

7. Севрюк В.П. Теория самоподдерживающих процессов/ Труды ДВГТУ, №125.- Владивосток: ДВГТУ, 2000, с. 129-131.