Главная страница

Севрюк В.П.

Геометрии расслоенных пространств в теории обобщенных криволинейных координат. -ВИНИТИ СССР, № 3378 - В90 Деп., 1990, c . 3 - 8.

ZIP -win-word

Пространство.

Единство геометрии и физики

(общие положения)

Если спросят, что такое пространство без тела..

.то я не колеблясь, отвечу, ничего не знаю об этом:

Г.В. Лейбниц

   "…в природе существуют совокупности    объектов и явлений,

 которые характеризуются той или иной геометрией.

 Естественно, что эти совокупности могут характеризоваться

(как, например, система цветов) многомер­ной геометрией

 и в силу этого могут быть рассмотрены

 как многомерные пространства".

Э.П. Андреев

"Если имеется система с очень большим количеством свойств и

       взаимосвязанных пере­менных,

то можно прийти к понятию многомерного и

     даже бесконечномерного пространства”.

                                  С.Т.Мелюхин

 1.В материальном мире реализуются многомерные пространства. С каждой физической системой и с каждым процессом ассоциируются соответствующей структуры пространства. Введение многомер­ных пространств возможно во всех разделах физики. Даже в клас­сической механике вводятся многомерные пространства с искривлением и закручиванием. С позиций геометрии изучение физических систем и процессов сводится к изучению пространства, ассоциируемого с данными системами и процессами. В этом случае геометрии выступает в качестве геометрического метода.

                    2.Между геометрическими связностями и физическими законами существует соответствие. Если для какой-то физической системы между физическими законами и геометрическими связностями (метрическим тензором) установлено соответствие, то для данной физической системы ставится в соответствие   модель гео­метрического пространства»

                     В земных условиях, на Солнце и звездах, в межзвездных облас­ти имеются системы и процессы, пространственные отношения ко­торых совпадают с пространственными отношениями геометрии Эвклида, Римана, Картана, Кавагучи, Финслера, линейных элементов выс­шего порядка и более общих пространств - пространств тензорных опорных элементов, спиновых пространств и спиновых пространств с тензорным опорным объектом.

Геометрическое моделирование связывается с введением геометрических образов, идей, операций, пространственных форм и отношений, а при рассмотрении отдельных вопросов сохраняется и сама геометрическая форма изложения.

Действия в рамках геометрических, моделей математически кор­ректны и наглядны благодаря пространственным образам, которые вносят геометрий. Геометрическими образами выступает кривая, поверхность, фигуры с различными формами и др.

Геометрии способствуют развитию пространственного способа мышления, поскольку операции проводятся с геометрическими обра­зами.

3.Геометрия - раздел математики. Других каких-либо геометрий не существует. В этой связи, единство геометрии и физики такое, какое оно существует между физикой и математикой: геометрия имеет дело с многообразием связей, физика же имеет дело толь­ко с теми связями, которые реализуются на практике. Можно проводить интерпретацию какого-либо вопроса исключительно прибе­гая к геометрическим понятиям операциям, формам и отношениям, но при существующей традиционной физической интерпретации геометрические формы и отношения присутствуют. Часто же они остаются неизвестными и не используются.

“Физических пространств” не существует. “Физическими про­странствами” можно называть те геометрические пространства, ко­торые близки к пространствам, реализуемым в физике. Те  пространства, которые реализуются в физике, мы относим к пространствам внутренних степеней свободы, так как вводятся обобщенные криволинейные координаты, в качестве которых  выступают координаты : энергия, энтропия, внутренняя энергия, электрический потенциал, термодинамический потенциал , тепло…

4.Но геометрии выделяются, так как они предлагают общие фор­мы изменения дифференциально-геометрических объектов при наличии тех или иных связей. Никакой другой раздел математики этого не дает.

                На количественном уровне физика и геометрия решают одну задачу: по известному значению физической величины (дифферен­циально-геометрического объекта) в одной точке требуется опре­делить значение этой же физической величины (дифференциально-геометрического объекта) в бесконечно близкой к ней точке или вдоль некоторой траектории.

                    Тогда какое же отличие на этом количественном уровне физики от геометрии?

                    Из всего многообразия изменений дифференциально-геометрического объекта (величин) физика   выделяет   только те изменения, которые отвечают эксперименту, опыту.

               Геометрическую основу всех физических теорий составляют переносы    тензорных и спинорных полей в соответствующих пространствах.

               На переносах тензорных и спинорных полей основываются дифференциальные уравнения скалярного, спинорного, векторного и более высокого ранга тензорных полей, которые в физике описывают те или иные процессы.

                   Геометрия позволяет учесть все члены, отражающие взаимодей­ствие в  рамках данной геометрической модели, и исключить члены, которые выходят за рамки данной модели.

                  Одной ковариантной записью не обойтись. Имеется еще и анти­симметричная часть связностей (кручение). Эту часть также необходимо учитывать. Например, в теории единого поля В. Гейзенбсрга нелинейные члены Гейзенберга получили интерпретацию с привлечением антисимметричной части связностей пространства внутренних степеней свободы (В. И. Родичев).

                      Физические законы, которые связываются с кручением, постули­руются. Так как метрическая часть также связывается с законами физики, то данные законы могут быть введены, поскольку метрическая часть связностей меняется не по тензорному закону, и в теорию может быть введена, например, теоретико-групповым ме­тодом дифференциальной геометрии. Здесь постулируются более фундаментальные принципы.

                      5. Геометрические структуры, ассоциируемые с линейными и не­линейными дифференциальными уравнениями, порождают решения урав­нений, в том числе обобщенные решения - разрывные поля, ударные волны, солитоны  (упругие, электромагнитные, состояния, вероятнос­ти...). На этом утверждении строится метод решения дифферен­циальных уравнений. К нему близко подходит метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го, в котором в ряд разлагается не только независимая переменная, но и зависимая. Получается система уравнений, с которыми  ассоциируются соответствующей структуры геометрические пространства. Процесс уточнения решения связывается с переходом от одних пространств с одной геометрической структурой к про­странствам с другой геометрической структурой.

                     Привлечение геометрических структур в теорию возмущения делает данную теорию математически корректной и наглядной.

                     Действие той иди иной теория регламентируется заданием геометрических структур. Переход от одной физической теории к более совершенной теории, описывающей точнее физические процессы, происходит в соответствии с переходом от пространств с одной структурой к пространствам с другой  более сложной структурой.

                      Геометрии систем дифференциальных уравнений (нелинейных дифференциальных уравнений) связаны с геометриями римановых, финслеровых,  картановых и других расслоенных пространств.

                     С позиции геометрии одни дифференциальные уравнения в фи­зике записываются для составляющих вектора, другие - для со­ставляющих метрического тензора, третьи - для метрической функции и т.д..

                     Если известны переносы тензорных и спинорных полей, то в отдельных задачах нет надобности составлять уравнения и их решать, так как знание данных переносов уже достаточно для из­лечения соответствующей физической информации.

                     6. Соблюдение первичных геометрических положений делает дальнейшие  математические действия строго запрограммированными и ограниченными рамками соответствующей геометрии, а именно, последовательно продолжение уравнения для метрической функции (под этим понимается внешнее дифференцирование и развертывание полученных уравнений по лемме Картана) охватывает ковектор (первое дифференциальное продолжение), связности (третье дифференциальное продолжение) и т.д.

                     Определение геометрического пространства, ассоциируемого с исследуемой системой, сводится к построению фундаментальной последовательности дифференциально-геометрических объектов этого пространства.

                      7.Введение метрического тензора способствует введению геометрического исчисления.

                   Установление метрического тензора в релятивистской теории гравитации и в новой релятивистской теории гравитации способ­ствует введению геометрического исчисления с этим тензором во все разделы физики. Это утверждение следует и из того, что в этих теориях поле тензора энергии–импульса–момента импульса любого материального объекта определяют гравитационное  поле. Например, с помощью данного метрического тензора можно опреде­лить изменение составляющих напряженности магнитного поля. Это позволяет в магнитостатике проверить наличие эффектов, предсказываемых  теориями гравитации. Эти эффекты можно усилить. Метрическим тензором можно поднимать и опускать индексы  тензора любого раздела физики . Например, у диэлектрической проницаемости анизотропной среды  (тензор второго ранга) поднимаем два индекса метрическим тензором, который определен в релятивистской  теории гравитации. Диэлектрическая проницаемость помножается (делится) на квадрат гравитационного поля. Физический смысл этому?

                      В настоящее время геометрии искривленных пространств позволяют извлекать физическую информацию о процессах в основном космических и галактических масштабов, а не земных. Но геометрии эффективны во всех разделах физики, во всех науках (даже в со­циологии), поскольку геометрия объемлет любые отношения и формы, которые возникают при рассмотрении однородных объектов, событий и которые оказываются сходными с обычными пространственными отношения и формами.

                    8. Современная физика – это физика сложных, систем и процессов, к которым можно отнести нелинейные системы, системы, обеспечивающие индуцированное излучение, сильно возбужденные состояния в твердых телах, твердотельные сверхструктуры (гетероструктуры), гидродинамическое пластическое течение в кристалле, высоко­температурную сверхпроводимость, высоко – и низкотемпературную плазму, находящуюся в полях, высокотемпературный и низкотемпературный синтез атомных ядер, высокоэнергетические элементарные частицы, их образования и ансамбли, сверхскоростное течение газовых и металлических струй и многие другие.

Геометрии расслоенных пространств являются основой теорий процессов-пересечений: термо-механических, электро-механических, термо-магнитных, спиново-механических, спиново-магнитных…

                     Эти научные направления исследований относятся к важным научным направлениям. Они определят технический прогресс на ближайшие годы.

                     Математически корректные теории данных сложных систем и процессов могут быть построены только с привлечением геометрии.

                      Например, на основе ковариантного дифференцирования строит­ся нелинейная теория упругости Т. Дойлем и Дж. Эриксеном из военно-морской исследовательской лаборатории (Вашингтон). Данное дифференцирование проводится в рамках геометрии Римана.

                       Японский математик А. Кавагучи показал, что каждая нелинейная система естественным образом порождает более общую геометрию, чем геометрия Риманова, а именно, геометрию Финслера и, таким образом, теория данных нелинейных систем должна строиться в рамках геометрии Финслера.

                        Математическое моделирование с привлечением современных геометрий является актуальным и многообещающим.

                   Привлечение геометрий способствует миропониманию, выяснению внутренней организации системы, ее структурности.

                   Создается система физико-геометрических взглядов на окружающий мир.

                   Основы геометрии расслоенных пространств изложены в работах Фнслера (Finsler P.), Фризеке (Friesecke H.V.), Бервальда (Berwald L.), Бортолотти (Bortolotti E.), Миками (Mikami M.), Рунда (Rund L.), Кавагучи (Kawaguchi T.), Вагнера В.В., Лаптева Б.Л., Такано (Таkаnо V.), Мисра (Misra R.) и Мишра (Michra R.), Вуянвик (Vujanvic В.D.), Мацумото (Matsumotoо М.), Икеда (Ikeda S.), Oстиану Н. M., Рыжкова В.В. и Швейкина П.И., Евтушина Л.Е., Близникаса В. И., Виноградова А.М., Красильщика И.С., Лычагина В.В. и др.

                     Геометрическую интерпретацию ряда физических, систем проводили Вагнер В.В., Гохман А., Дао Вонг Дык и Нгуен Ван Хьеу, Дойл (Doyle Т.) и Эриксен (Ericksen J.), Ингарден (Ingarden G.), Леннеп (Lennep J.), Ллойд-Эванс (Lloyd-Evans D.), Вуянвик (Vujanvic B.), Блевлер Конрад (Blevler Konrad) и др.

     Научно-техническая конференция:  «Вологдинские чтения». Естественные науки. Тезисы докладов.-Владивосток: ДВГТУ, 1998, с. 48 – 49.

 Севрюк В.П. Общая физико-геометрическая схема построения физических теорий.

                    1.Задается базисное пространство  X_n   класса    m, гомеоморфное  n-мерной области пространства Эвклида. Каждой точке   Р _Xn  сопоставляется во взаимно однозначное соответствие   n  координат внутренних степеней свободы,  n  чисел   ⁱ ( i - 1,2,3, ..., n)  из области арифметического пространства R. _{ⁱ  являются в физике обобщенными криволинейными координатами ( x,y,z,t, температура , энтропия, термодинамический потенциал...).}

                  Вводятся до  порядка    m^/  (  m^/   >  0 ) взаимно однозначные преобразования обобщенных криволинейных координат

                                 _{ⁱ   =    ⁱ  ( ⁱ ) ,    ( i  = 1,2,3, ..., n )  ,          (1)}

               образуя псевдогруппу класса    m^/  .В физике эти преобразования являются естественными, то есть имеют силу преобразования координат, допускаемые законами физики. Примером таких естественных преобразований в физике являются преобразования Лоренца в СТО.

                      2. С  каждой точкой  Р(  )  X_n  cвязывается касательное пространство   V_m ( Р) , где     m^/  -   m   > 0, являющееся однородным  пространством Клейна, координаты точек которого являются  произвольные значения дифференциалов координат точки  Р X_n .

                     Фундаментальной группой этого пространства служит общая дифференциальная группа Ли.

                    3. Относительно преобразований  (1)  определяется дифференциально-геометрический объект  ( 1 и  2  рода) в точке  Р X_n . Каждый  раздел физики вводит свои дифференциально-геометрические объекты. Вводятся они на основе физических принципов.

                    4. Определяется поле дифференциально-геометрического объекта в  X_n, как функции координат базы. Поскольку в физике обобщенные криволинейные координаты имеют естественную область действия, то и поля дифференциально-геометрического объекта   имеют естественную  область действия.

                      5. Каждой точке   Р X_n   относят пространство  дифференциально-геометрического объекта, гомеоморфное  N  - мерной области   пространства  Эвклида.

                      Получают многообразие  n  +  N   измерений     X_{n, .}

                      6. Пространство     X_n,   есть, таким образом, пространство, образованное топологическим произведением пространства   X_n   и пространства значений дифференциально-геометрического объекта.

                     В данном пространстве вводятся объекты первого и второго  рода.

                     7. В пространстве   X_n,   задается поле дифференциально-геометрического объекта - связности, позволяющие в данном пространстве ввести геометрию как системы инвариантов и инвариантных операций, присоединенных к фундаментальному объекту относительно допустимых преобразований координат. Задание объекта аффинной связности 2 рода (или  инвариантной системы уравнений Пфаффа)  определяет ковариантное дифференцирование,  позволяет построить тензоры кривизны и показать, что инварианты более высокого порядка выражаются через этот тензор и его ковариантные производные. Возникает возможность установить отображение касательных пространств для бесконечно близких координат пространства  X_n, , возможно введение параллельного  переноса тензоров.

                     8. Ценность для физики представляет пространство    X_n, ^{( )}_{( )} (индексы коллективные),  где с базовой точкой ассоциируется пространство значений дифференциально-геометрического объекта, которым выступает тензор  (псевдотензор     ^{( )}_{( )}  веса   r ) -  дифференциально-геометрический объект класса 1, тип которого при преобразованиях обобщенных криволинейных  координат в пространстве внутренних степеней свободы  (1)   охарактеризован следующими преобразованиями его составляющих

                     ⁽ _{( )}    =    ^{-r ( )}_{( )} ^{( )}_{( )} ^{( )}_{( )}

при наличии правила нормировки

                      ^{( )}_{( )}    =   ^{( )}_{( )}

    9. Вводится поле дифференциально-геометрического объекта в пространстве    X_n, ^{( )}_{( )}.

   10. В геометрии далее исследуются отображения  касательных пространств  бесконечно близких координат пространства   X_n, ^{( )}_{( )}, то есть аффинная связность в пространстве    X_n, ^{( )}_{( )}  может быть установлена, если построить ковариантный дифференциал поля составляющих тензора 1 ранга (тензорной плотности) и определить параллельный перенос.

   В данном пространстве вводятся и спиновые связности, позволяющие построить геометрию на основе спиноров.

   11. Если в каком-то разделе физики  вводятся преобразования  (1)  и относительно этих преобразований вводятся тензоры (скаляры, спиноры, векторы...), и, например , разрабатывается исчисление в рамках римановой геометрии, то это исчисление (содержащее физические связи данного раздела)  может переноситься в другой раздел физики, если в нем относительно преобразований  (1)  будут установлены тензоры, характеризующие процессы и системы данного раздела.

   Это новое направление, корректное. По крайней мере в университетах этому направлению следует уделять внимание. Его начинали развивать Лагранж, Гамильтон, Эйлер...Исследования продолжали Финслер, Фризеке, Бервальд, Бортолотти, Миками, Рунд, Квагучи, Вагнер В., Лаптев Б., Такано, Мацумото, Икеда, Евтушик Л., Близникас В. ... В настоящее время современные геометрии не совсем эффективно используются в физике. В ряде случаев используются  геометрии ошибочно. Примером  может служить новая релятивистская теория гравитации (РТГ), разрабатываемая  А.А. Логуновым и его группой.

    В РТГ отсутствует риманова геометрия, так как исчисление римановой геометрии РТГ не имеет силы в других разделах физики и поскольку метрический тензор зависит от дифференциально-геометрического объекта, то это уже другая геометрия. Отсутствует в РТГ и разумная физическая модель. Практической ценности она не представляет  и для самой теории  гравитации.