Главная страница  Список работ

Как было отмечено в главе 1, при учете малых пространственно-временных масштабов вплоть до нулевых значений теоретическая физика испытывает принципиальные трудности: все неклассические теории в высокоэнергетическом пределе содержат расходимости и сингулярности. Как результат - физики вынуждены довольствоваться компромиссными феноменологическими концепциями ad hoc, обещающими в лучшем случае частный успех в ущерб общности и единству. Источник происхождения указанных трудностей физикам давно известен. Это - распространение традиционных представлений о структуре пространства и времени на сколь угодно малые масштабы вплоть до D x,D t® 0. Обращение к предельно малым промежуткам пространства и времени делает актуальным анализ математических структур, связанных с отображением свойств пространства-времени. Проблематичной оказывается обоснованность экстраполяции на планковские масштабы не только конкретных математических методов, но и самых исходных математических понятий (таких как точка, окрестность, линия, угол, вектор, размерность, непрерывность и пр.).

Очевидно, применимость абстракций должна в каждом случае определяться, в первую очередь, степенью адекватности их содержания объективным свойствам описываемой реальности. Включение новых (постнеклассических) онтологических представлений об объективной специфике планковских величин в концептуальный фундамент науки приводит к необходимости обобщения базовых математических абстракций¹. Говоря, например, о формализации планковской длины, следует учитывать, с одной стороны, предельность и инвариантность этой величины, а с другой, - ее конечность. Если второе позволяет рассматривать ее как элемент дискретного пространства, то первое указывает на то, что ее образ должен обладать и спецификой непротяженной математической точки, т.е. элемента непрерывного пространства (континуума). Как показано в разделе 2.1, данное сочетание противоположных свойств конечного и нулевого (бесконечно малого) объективно требует введения в качестве нового фундаментального понятия актуального нуля множества.

Эта абстракция, очевидно, является обобщением традиционного понятия нуля. В отличие от классического нуля, означающего полное отрицание какого-либо количества, актуальный нуль представляет собой диалектическое единство бытия и небытия, поскольку является актуальной величиной, существующей в непроявленной² (потенциальной) форме. Существование актуального нуля множества служит предпосылкой и основой всех количественных проявлений, характерных для данного множества. Актуальный нуль означает действительное (актуальное) существование абсолютного минимума (кванта) количества и оказывается недостижимым (логическим) пределом процесса уменьшения любого проявленного количества. Этот предел следует понимать в смысле количественной характеристики (границы меры), определяющей переход к иному качественному состоянию (виду) материи. Физически это означает ненаблюдаемость, невоспринимаемость данной величины через непосредственное взаимодействие с веществом³. Недостижимость актуального нуля связана с выходом за нижний пространственно-временной предел существования вещественных объектов (процессов). Например, невоспринимаемость l_pl может быть связана и оправдана тем, что “в распоряжении” любого вещественного наблюдателя (вещественного объекта, участвующего в каком-либо процессе) нет чего-либо качественно родственного ему (т.е. тоже вещественного), что он мог бы сопоставить (соразмерить) с величиной l_pl. Смысл принципиальной невоспринимаемости вещественными объектами величин l_pl и t_pl в большей степени проясняется на основе рассмотрения свойств движения и формирования объектов в дискретно-непрерывном пространстве-времени, анализа топологических особенностей последнего⁴ (см. главу 2).

Актуальный нуль множества обеспечивает принципиальную возможность введения количественного критерия применимости идеализированных континуальных представлений для описания свойств этого множества⁵. Например, на тех пространственно-временных масштабах, относительно которых можно пренебречь величиной актуального нуля (l_pl), результаты применения математических методов, основанных на идеализированных физических представлениях и соответствующих им абстрактных понятиях и процедурах классической геометрии, оказываются в достаточной степени адекватными реальности⁶. Но по мере приближения к конечным инвариантным величинам нарастает степень несоответствия идеализаций описываемым реальным объектам и процессам, и абстрагирование от “несущественных” деталей становится все менее правомерным. Так нарастание количественных несоответствий благодаря использованию классических математических абстракций приводит к принципиальным качественным несообразностям (хорошо известным в современной теоретической физике), возникающим в пределе уменьшения пространственно-временных масштабов. Необходимость перехода к обобщенным понятиям, учитывающим существование актуального нуля множества длин, проявляется, в частности, в том, что все геометрические объекты (точки, линии, фигуры, углы) приобретают “телесность” и некоторую “размытость” границ; тела и углы утрачивают свойство беспредельной делимости (сопровождаемой уменьшением их величин); в непрерывности обнаруживаются характерные черты дискретности и т.п. В пределе (на планковских масштабах) возникает тождество классических противоположностей: параллельности и ортогональности, поворота и переноса, монотонности и периодичности, сложения и вычитания, размываются различия между геометриями Римана, Евклида и Лобачевского. Столь существенное изменение понятийного базиса влечет за собой возможность принципиального исключения тех несообразностей, к которым приводят неклассические физические теории в результате экстраполяции их положений и формализмов на малые масштабы.

Необходимость обобщения классических математических понятий диктуется не только “внешними”, прикладными (т.е. физическими или философскими) причинами, но и собственными потребностями математики. Обоснование основ классической математики, проведенное на базе теории множеств, сопровождалось развитием новых понятий и методов: мощности и порядкового типа бесконечного множества, трансфинитности, актуальности бесконечного и др., которые впоследствии привели к формально-логическим парадоксам. На наш взгляд, процесс обоснования математики в принципе не может быть завершен на уровне классических и неклассических научных представлений, - он должен быть продолжен на постнеклассическом этапе путем дальнейшего логического обобщения фундаментальных понятий и, в первую очередь, понятия самого числа⁷.

При изучении характерных особенностей, возникающих при использовании традиционных элементарных геометрических понятий в ситуации, предполагающей существование актуального нуля множества, будем исходить из определенной в разделе 2.1 новой арифметики для множества длин, отличающейся от классической тем, что роль нуля в ней играет конечная величина l_pl. При этом новые определения операций сложения и вычитания длин совпадают с традиционными арифметическими действиями сложения и вычитания в пределе l_pl® 0. В настоящей главе на основе аналогичного подхода предпринята попытка проанализировать элементарную геометрию модели пространства вещественно-полевых объектов вблизи планковских масштабов, т.е. получить, используя традиционную терминологию, новые представления о свойствах геометрических объектов в случае дискретно-непрерывного пространства⁸. Установление отношений между геометрическими объектами позволит, в свою очередь, перейти к определению обобщенного числа, которое было бы адекватно дискретно-непрерывной структуре множества.

При разработке основ новой геометрии следует отдавать себе отчет в том, что ввиду отсутствия эмпирических данных о процессах в области предельно малых масштабов имеется произвол в выборе геометрии в малом. Успех, достигнутый в результате применения конкретной геометрии при решении какой-либо группы частных физических проблем, принципиально не может служить достаточным основанием для принятия данной геометрии в качестве универсального математического отражения свойств реального пространства-времени. Чтобы претендовать на фундаментальную роль, концепция структуры пространства-времени должна удовлетворять всем основным физическим представлениям, составляющим фундамент сегодняшней науки, а также современной системе гносеологических методологических принципов постижения физической реальности⁹. К первым относятся, в частности, принцип всеобщего универсального взаимодействия, материального единства мира, неуничтожимости и взаимопревращаемости видов материи, причинно-следственной связи событий, необратимости реальных процессов во времени, материальной обусловленности свойств и относительности пространства-времени. Уже этот неполный перечень “требований” позволяет отчетливо осознать, что новые геометрические представления не могут быть результатом абстрактного выбора непротиворечивой системы математических аксиом, не соотнесенных с самыми общими свойствами, признаваемыми нами за реальностью. Из гносеологических методологических принципов, которым должны удовлетворять фундаментальные представления о пространстве-времени, наиболее актуален принцип толерантности, согласно которому новая концепция не имеет права исключать ни одной из признанных физических теорий, но, напротив, должна служить объединяющим началом для возможно более широкого спектра различных научных подходов. В частности, важной задачей является обобщение динамического и вероятностного описаний, т.е. отказ от сугубо феноменологического принципа дополнительности в пользу более фундаментального уровня понимания диалектики соотношения закономерности и случайности в природе.

1 “Придание физического смысла математическим построениям (без физических идей) - занятие весьма сомнительное, но широко распространенное и в наше время. ... Главное - понять, какие физические свойства материи определяют геометрию.” (Логунов А.А. Релятивистская теория гравитации и новые представления о пространстве-времени // Вестник Московского университета. Сер. 3, Физика. Астрономия. - 1986. - Т. 27, № 6. - С. 3-15.). Иными словами, будучи составной частью физической теории, математические аппараты физики обязательно должны быть связаны с реальными ... свойствами и отношениями физических объектов (Степин В.С. Методология построения физической теории // Вопросы философии. - 1974. - № 12. - С. 79-89.).

2 Физический смысл количественной проявленности или непроявленности свойства (или величины) заключается в том, существует или нет такой вещественный наблюдатель, который в принципе способен непосредственно воспринять это свойство (величину). Невоспринимаемость величины традиционно выражается в науке тем, что ей приписывается нулевое количество. Абсолютизация вещественно-полевой части реальности приводит к отрицанию существования подобных величин в онтологическом смысле. Однако возможна и иная точка зрения, а именно: невоспринимаемость реально существующего свойства означает качественную разнородность его материального носителя с веществом и полем.

3 Как писал В. А. Фок, “в определениях решающим является не непосредственная наблюдаемость, а соответствие природе, хотя бы это соответствие и устанавливалось путем косвенных умозаключений” (Логунов А.А. Релятивистская теория гравитации и новые представления о пространстве-времени // Вестник Московского университета. Сер. 3, Физика. Астрономия. - 1986. - Т. 27, № 6. - С. 3-15.).

4 Корухов В.В., Шарыпов О.В. О возможности объединения свойств инвариантного покоя и относительного движения на основе новой модели пространства с минимальной длиной // Философия науки. - 1995. - № 1 (1). - С. 38-49.; Корухов В.В., Шарыпов О.В. Место физического пространства в системе взаимосвязей материального мира // Гуманитарные науки в Сибири. - 1996. - № 1. - С. 79-85.

5 Заметим, что, если не ввести кванта времени и пространства, т.е. не ввести понятие актуального нуля множеств, то будет совершенно неясно, чем математически должно объективно регулироваться проявление качественных особенностей геометрии пространства-времени на малых масштабах. Не будет собственно универсального критерия малости, который бы управлял переходом между геометриями макро- и микромира. То, что эти геометрии могут различаться и при этом должны быть связаны предельным переходом, ведет к признанию актуальности конечного инвариантного элемента в пространственно-временном многообразии.

6 Современная наука использует континуальные модели множеств физических величин, причем качество получаемых результатов подчас позволяет как бы не замечать принципиальных противоречий континуалистского подхода. Подобная ситуация уже возникала в истории математики. Например, Демокрит, отталкиваясь от учения Пифагора, в согласии с Левкиппом утверждал, что существуют неделимые сущности, амеры (Лурье С.Я. Демокрит. Тексты. Перевод. Исследования. - Л.: Наука, 1970. - С. 236-238.), и, следовательно, не может быть никакого бесконечного деления, поскольку этому процессу заранее положен предел. Эта концепция содержала противоречие. Если амеры - это неделимые сущности, то возникает вопрос: являются ли они протяженными. Если же они протяженны, то должны быть делимыми, а если не протяженны, то как же из них составляются протяженные тела? (Демокрит в его фрагментах и свидетельствах древности. - М., 1935. - С. 72-73.). Тем не менее, Демокрит применил свой подход к некоторым математическим вычислениям и получил формулу объема пирамиды и конуса, составляя их из конечного числа плоскостей, получаемых от разбиения секущими плоскостями цилиндра и призмы, объемы которых были уже известны (Бурова И.Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987. - С. 9.). Однако он создал лишь метод для получения этих результатов, но не для доказательства их истинности. Архимед справедливо считал математические результаты Демокрита недосказанными (Зубов В.П. Развитие атомистических представлений до начала XIX в. - М., 1965. - С. 81-82.). В процессе своих математических рассуждений Демокрит неизбежно наталкивался на вопрос о том, равны или неравны “пластинки”, составляющие конус, а отсюда - и о том, конечно или бесконечно их число. Ответ, на наш взгляд, не мог быть ни положительным, ни отрицательным, так как и в том, и в другом случае получалась нелепица: или конус равен цилиндру, или он становится ступенчатым. Все это приводило к мысли о противоречии между конечным и бесконечным, прерывным и непрерывным.

7 В.П.Бранским (Бранский В.П. Философское значение проблемы наглядности в современной физике. - Л., 1962.) показана возможность многообразия видов каждого атрибута материи в онтологическом смысле. “Если, в соответствии с этим, возможно онтологическое многообразие видов атрибута “количество”, то отсюда следует и необходимость пересмотра основных количественных понятий, в частности понятия числа, при исследовании объектов онтологически иной природы.” (Свидерский В.И., Кармин А.С. Конечное и бесконечное. - М.: Наука, 1966. - С. 176.).

8 Структура пространства характеризуется геометрией, а геометрия определяется, во-первых, заданием некоторых пространственных понятий, некоторых элементов и, во-вторых, заданием законов связи между ними. “Определяющими для геометрии являются именно законы взаимосвязи элементов...” (Андреев Э.П. К вопросу о пространстве микромира // Вопросы философии. - 1963. - № 2. - С. 122-131.).

9 Симанов А.Л., Стригачев А. Методологические принципы физики: общее и особенное. - Новосибирск: Наука, 1992.

Сайт управляется системой uCoz